Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A pergunta pede para a gente mostrar que o campo vetorial fornecido é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua rotacional for zero, ou seja, se .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando :
E calculando :
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar uma função potencial tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá , então integrando:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante , então:

Passo 5

Agora vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo, a integral de linha de ao longo de uma curva depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva.
A curva é dada por , onde varia de 0 a 1.
Vamos encontrar os pontos finais:
Para :
Para :
Então, a integral é:
Calculando :
E :

Resposta

A integral de linha é .

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