Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A pergunta pede para a gente mostrar que o campo vetorial fornecido é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se a sua rotacional for zero, ou seja, se
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando
:
E calculando
:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá
, então integrando:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante
, então:
Passo 5
Agora vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo, a integral de linha de
ao longo de uma curva
depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva.
A curva é dada por
, onde
varia de 0 a 1.
Vamos encontrar os pontos finais:
Para
:
Para
:
Então, a integral é:
Calculando
:
E
:
Resposta
A integral de linha é
.
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, onde
é o arco do círculo
no primeiro quadrante, do ponto
ao
.
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