Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular integralC F d r, onde C é a curva indicada: F(x, y)=(e^2 y-2 x y) i+(2 x e^2 y-x^2+1) j ; C: r(t)=(t e^t,(1+t)), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A pergunta pede para a gente mostrar que o campo vetorial fornecido é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua rotacional for zero, ou seja, se .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
P(x, y) = e^2y - 2xy
Q(x, y) = 2x e^2y - x^2 + 1
Calculando partial Ppartial y = 2e^2y - 2x :
partial Qpartial x = 2e^2y - 2x
E calculando :
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar uma função potencial F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j tal que:
partial phipartial x = e^2y - 2xy
Isso significa que:
partial phipartial y = 2x e^2y - x^2 + 1
phi(x, y) = integral (e^2y - 2xy) , dx = e^2yx - x^2 y + h(y)
Vamos integrar partial phipartial y = 2e^2yx - x^2 + h'(y) = 2x e^2y - x^2 + 1 em relação a h(y) = y + C :
phi(x, y) = e^2yx - x^2 y + y + C
Agora, derivamos phi(x, y) = e^2yx - x^2 y + y em relação a e igualamos a :
Isso nos dá , então integrando:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante , então:

Passo 5

Agora vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo, a integral de linha de r(0) = (0 cdot e^0, 1 + 0) = (0, 1) ao longo de uma curva r(1) = (1 cdot e^1, 1 + 1) = (e, 2) depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva.
A curva é dada por integralC F cdot dr = phi(e, 2) - phi(0, 1) , onde phi(e, 2) = e^4 cdot e - e^2 cdot 2 + 2 = e^5 - 2e^2 + 2 varia de 0 a 1.
Vamos encontrar os pontos finais:
Para phi(0, 1) = e^2 cdot 0 - 0^2 cdot 1 + 1 = 1 :
Para :
Então, a integral é:
Calculando :
E :

Resposta

A integral de linha é .

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