Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
Seja
uma curva de equação
, então
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
parametrizada por
no intervalo
é igual a 25. Vamos usar cálculo de campos vetoriais e parametrização de curvas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a integral de linha
. Isso envolve parametrizar a curva, encontrar a derivada da parametrização e depois calcular o produto escalar entre o campo vetorial
e essa derivada.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. A parametrização já está dada:
, onde
varia de -1 a 0. Agora, vamos achar a derivada dessa parametrização em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização
no campo vetorial
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Agora avaliamos de
a
:
Então, a integral vale
.
Resposta
F. A integral de linha
não é igual a 25, mas sim a
.