Considere F(x, y)=(-2 x+3 y, 4 x y) um campo vetorial em R^2 e Cl uma curva parametrizada por r1(t)=(t^2, t^3), com 0 <= t <= 1. Marque com V, se for verdadeira a sentença, ou F, se falsa, justificando cada item:
Seja C2 uma curva de equação r2(t)=(t^2,-t^3), t in[-1,0], então integralC2 F cdot d r2=25

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por no intervalo é igual a 25. Vamos usar cálculo de campos vetoriais e parametrização de curvas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a integral de linha . Isso envolve parametrizar a curva, encontrar a derivada da parametrização e depois calcular o produto escalar entre o campo vetorial e essa derivada.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva r2'(t) = ( ddt(t^2), ddt(-t^3) ) = (2t, -3t^2) . A parametrização já está dada: , onde varia de -1 a 0. Agora, vamos achar a derivada dessa parametrização em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização F(r2(t)) = F(t^2, -t^3) = (-2t^2 + 3(-t^3), 4t^2(-t^3)) = (-2t^2 - 3t^3, -4t^5) no campo vetorial :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r2(t)) cdot r2'(t) = (-2t^2 - 3t^3)(2t) + (-4t^5)(-3t^2) :
= (-4t^3 - 6t^4) + (12t^7) = -4t^3 - 6t^4 + 12t^7

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de integral-1^0 (-4t^3 - 6t^4 + 12t^7) , dt a -4 integral t^3 , dt - 6 integral t^4 , dt + 12 integral t^7 , dt :
= -4 ( t^44 ) - 6 ( t^55 ) + 12 ( t^88 )
Vamos integrar termo a termo:
= -t^4 - 65 t^5 + 32 t^8
[ -t^4 - 65 t^5 + 32 t^8 ]-1^0 = (0 - 0 + 0) - ( -1 - 65(-1) + 32(1) )
= 0 - ( -1 + 65 + 32 ) = -( -1 + 1.2 + 1.5 ) = - (1.7) = -1.7
Agora avaliamos de a :
Então, a integral vale .

Resposta

F. A integral de linha não é igual a 25, mas sim a .

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