Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
Seja uma curva de equação , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por no intervalo é igual a 25. Vamos usar cálculo de campos vetoriais e parametrização de curvas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a integral de linha . Isso envolve parametrizar a curva, encontrar a derivada da parametrização e depois calcular o produto escalar entre o campo vetorial e essa derivada.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . A parametrização já está dada: , onde varia de -1 a 0. Agora, vamos achar a derivada dessa parametrização em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
Agora avaliamos de a :
Então, a integral vale .

Resposta

F. A integral de linha não é igual a 25, mas sim a .

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