Sejam uma função escalar e um campo vetorial, ambos de classe . Responda , caso a operação seja válida, ou , caso não seja:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a operação é válida ou não. Estamos trabalhando com funções e campos vetoriais que são diferenciáveis até a ordem . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente ( ), gradiente ( ) e rotacional ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
  • Divergente ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em uma função escalar.
  • Gradiente ( ): Aplica-se a uma função escalar e resulta em um campo vetorial.
  • Rotacional ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em outro campo vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar os operadores na sequência:
  1. : Como é um campo vetorial, o divergente resulta em uma função escalar.
  2. : Aplicando o gradiente a essa função escalar, obtemos um campo vetorial.
  3. : Finalmente, aplicamos o rotacional a esse campo vetorial.

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial:
para qualquer função escalar . No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa identidade, temos:
Ou seja, a operação resulta no vetor nulo.

Resposta

V

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Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
Seja uma curva de equação , então
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: , onde é o quadrilátero percorrido do ao ao ao .
Calcule a área da superfície
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: