Sejam f: R^3 -> R uma função escalar e G: R^3 -> R^3 um campo vetorial, ambos de classe C^l. Responda V, caso a operação seja válida, ou F, caso não seja:
rot(nabla(div(G)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a operação é válida ou não. Estamos trabalhando com funções e campos vetoriais que são diferenciáveis até a ordem . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente ( ), gradiente ( ) e rotacional ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
  • Divergente ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em uma função escalar.
  • Gradiente ( ): Aplica-se a uma função escalar e resulta em um campo vetorial.
  • Rotacional ( ): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em outro campo vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar os operadores na sequência:
  1. : Como é um campo vetorial, o divergente resulta em uma função escalar.
  2. : Aplicando o gradiente a essa função escalar, obtemos um campo vetorial.
  3. : Finalmente, aplicamos o rotacional a esse campo vetorial.

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial:
para qualquer função escalar . No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa identidade, temos:
Ou seja, a operação resulta no vetor nulo.

Resposta

V

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