Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial, ambos de classe
. Responda
, caso a operação seja válida, ou
, caso não seja:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a operação
é válida ou não. Estamos trabalhando com funções e campos vetoriais que são diferenciáveis até a ordem
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente (
), gradiente (
) e rotacional (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
- Divergente (
): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em uma função escalar. - Gradiente (
): Aplica-se a uma função escalar e resulta em um campo vetorial. - Rotacional (
): Aplica-se a um campo vetorial e resulta em outro campo vetorial.
Passo 3
Vamos aplicar os operadores na sequência:
-
: Como é um campo vetorial, o divergente resulta em uma função escalar. -
: Aplicando o gradiente a essa função escalar, obtemos um campo vetorial. -
: Finalmente, aplicamos o rotacional a esse campo vetorial.
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial:
para qualquer função escalar
. No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando essa identidade, temos:
Ou seja, a operação resulta no vetor nulo.
Resposta
V