Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de usando o método da substituição de variáveis. Isso significa que vamos simplificar a integral escolhendo uma nova variável que facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos definir:
Isso significa que estamos substituindo por , o que deve facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Vamos derivar ambos os lados da equação:
Isso implica que:
Para facilitar a substituição na integral, resolvemos para :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Podemos fatorar o 3 para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é:
Portanto, nossa expressão fica:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta para a variável original :

Resposta

A integral é igual a:

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