Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de
usando o método da substituição de variáveis. Isso significa que vamos simplificar a integral escolhendo uma nova variável que facilite o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos definir:
Isso significa que estamos substituindo
por
, o que deve facilitar a integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Vamos derivar ambos os lados da equação:
Isso implica que:
Para facilitar a substituição na integral, resolvemos para
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Podemos fatorar o 3 para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é:
Portanto, nossa expressão fica:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta para a variável original
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial, ambos de classe
. Responda
, caso a operação seja válida, ou
, caso não seja:
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o arco do círculo
no primeiro quadrante, do ponto
ao
.