Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide
, cuja parametrização é dada por
.
Figura 3: Astróide.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região limitada por uma forma chamada astróide, cuja equação é
e é parametrizada por
e
, onde
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da matemática usada para relacionar integrais de linha e integrais duplas, muito útil para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que se temos uma curva fechada
no plano e uma região
limitada por
, então podemos relacionar uma integral de linha sobre
com uma integral dupla sobre
. A forma mais comum para calcular a área é usando a seguinte versão do Teorema de Green:
Aqui,
e
são funções parametrizadas da curva
.
Passo 3
Como temos as parametrizações de
e
em termos de
, vamos expressar
e
em termos de
. Vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fatorando
:
Como
:
Passo 6
Sabemos que
pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
A integral de
de
a
é
. A integral de
de
a
é zero, porque o seno tem período
e se anula no intervalo completo. Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região limitada pelo astróide é
.
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Calcule
, em que
é o parabolóide
em
(plano) e U é igual a:
(a) 1.
(a) 1.
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com
.
Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler:
Encontre a solução geral para cada equação diferencial: