Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide , cuja parametrização é dada por .
Figura 3: Astróide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região limitada por uma forma chamada astróide, cuja equação é e é parametrizada por e , onde . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da matemática usada para relacionar integrais de linha e integrais duplas, muito útil para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que se temos uma curva fechada no plano e uma região limitada por , então podemos relacionar uma integral de linha sobre com uma integral dupla sobre . A forma mais comum para calcular a área é usando a seguinte versão do Teorema de Green:
Á
Aqui, e são funções parametrizadas da curva .

Passo 3

Como temos as parametrizações de e em termos de , vamos expressar e em termos de . Vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da área:
Á
Substituindo e :
Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fatorando :
Como :

Passo 6

Sabemos que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
A integral de de a é . A integral de de a é zero, porque o seno tem período e se anula no intervalo completo. Então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo astróide é .

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