Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia para integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é uma integral com limite superior que depende de
e
. Para derivar isso, usamos a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral.
A Regra de Leibniz nos diz que:
No nosso caso, o limite inferior é 0, que não depende de
, então a segunda parte da fórmula desaparece. Assim:
Calculando a derivada do limite:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos a mesma Regra de Leibniz:
Calculando a derivada do limite:
Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
e