Seja f(x, y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2 d t. Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial x ( integrala(x)^b(x) g(t) dt ) = g(b(x)) cdot dbdx - g(a(x)) cdot dadx em relação a partial fpartial x = e^-(x^2 + y^2)^2 cdot ddx(x^2 + y^2) , ou seja, ddx(x^2 + y^2) = 2x .
A função partial fpartial x = 2x cdot e^-(x^2 + y^2)^2 é uma integral com limite superior que depende de e . Para derivar isso, usamos a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral.
A Regra de Leibniz nos diz que:
No nosso caso, o limite inferior é 0, que não depende de , então a segunda parte da fórmula desaparece. Assim:
Calculando a derivada do limite:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = e^-(x^2 + y^2)^2 cdot ddy(x^2 + y^2) em relação a ddy(x^2 + y^2) = 2y , ou seja, partial fpartial y = 2y cdot e^-(x^2 + y^2)^2 .
Usamos a mesma Regra de Leibniz:
Calculando a derivada do limite:
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x(x, y) = 2x cdot e^-(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y(x, y) = 2y cdot e^-(x^2 + y^2)^2

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