Dado a in R resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace, H(s), da função h:[0, infinito) -> C definida por h(t) = e^(i a t) é dada por
H(s)=1/(s-i a), s>0
Sugestão: Note que e^(i a t) = cos(a t) + i sen(a t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que a transformada de Laplace, , da função é igual a para . Vamos usar o conceito de transformada de Laplace, que transforma funções do tempo para o domínio da frequência . Além disso, a sugestão nos lembra que pode ser escrito como , o que vai ajudar na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace para uma função :
Vamos aplicar isso à nossa função :

Passo 3

Podemos simplificar a expressão no integrando combinando os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar os limites:
Para :
Se (já que ), então .
Para :
.
Então, temos:

Resposta

A transformada de Laplace de é

Exercícios relacionados