Calcule a área das superfícies descritas abaixo.
a) dada por , com e
b) dada por , .
c) com .
d) com .
e) : calota cortada da semiesfera , pelo cilindro .
f) : calota cortada da semiesfera , pelo cone .
g) é a rotação em torno do eixo do conjunto e .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a área de uma superfície que está definida de forma paramétrica por . As variáveis e são maiores ou iguais a zero e a soma delas não pode passar de 1, ou seja, , e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente o conceito de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta quando mudamos ou .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área infinitesimal da superfície.
Passo 4
A próxima etapa é calcular a norma desse vetor resultante, que representa a magnitude do vetor . Essa magnitude será usada na integral para encontrar a área total.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região definida por , e . A área da superfície é dada por:
Como é constante, podemos tirá-la da integral:
A integral representa a área da região , que neste caso é um triângulo com lados de comprimento 1.