Calcule a área das superfícies descritas abaixo.
a) S dada por sigma(u, v) = (u, v, 1 - u - v), com u >= 0, v >= 0 e u + v <= 1
b) S dada por sigma(u, v) = (cos(u), v, sen(u)), com u^2 + v^2 <= 4.
c) S: x = y^2 + z^2 com 0 <= y^2 + z^2 <= 4.
d) S: z = x y com 1 <= x^2 + y^2 <= 4.
e) S : calota cortada da semiesfera x^2 + y^2 + z^2 = 3, z ≥ 0, pelo cilindro x^2 + y^2 = 1.
f) S : calota cortada da semiesfera x² + y² + z² = 1, z ≥ 0, pelo cone z = raiz(x^2 + y^2).
g) S é a rotação em torno do eixo z do conjunto A={(x, y, z): x=0} e z^2 + (y - 2)^2 = 1.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a área de uma superfície que está definida de forma paramétrica por . As variáveis e são maiores ou iguais a zero e a soma delas não pode passar de 1, ou seja, , e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente o conceito de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta quando mudamos ou .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área infinitesimal da superfície.

Passo 4

A próxima etapa é calcular a norma desse vetor resultante, que representa a magnitude do vetor . Essa magnitude será usada na integral para encontrar a área total.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região definida por , e . A área da superfície é dada por:
Como é constante, podemos tirá-la da integral:
A integral representa a área da região , que neste caso é um triângulo com lados de comprimento 1.

Passo 6

Vamos calcular a integral da região triangular :
Então, substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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