Utilizando diferenciais, encontre um valor aproximado para as expressões:
raiz((3,99)^2 + (4,01)^2)

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente encontrar um valor aproximado para a expressão usando diferenciais. Vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a ideia de aproximação linear, para resolver essa expressão de maneira mais simples.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que precisamos aproximar. Seja . Nosso objetivo é encontrar . Como 3,99 e 4,01 estão bem próximos de 4, vamos usar o ponto como referência para a aproximação.

Passo 3

Calculamos o valor da função no ponto fácil :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y no ponto . As derivadas parciais são:
Substituindo :

Passo 5

Calculamos os diferenciais e :

Passo 6

Usamos a fórmula da aproximação linear utilizando os diferenciais:
Substituindo os valores calculados:

Passo 7

Finalmente, somamos o valor da função no ponto de referência com o diferencial para obter a aproximação:

Resposta

O valor aproximado de é aproximadamente 5,6568.

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