Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(e) sumn=1^infty 1raizn^2+4 n

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série é convergente ou divergente usando o teste de comparação. Aqui, vamos trabalhar com séries infinitas e o teste de comparação, que ajuda a comparar a nossa série com uma outra série conhecida para determinar o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observando o denominador raizn^2 + 4n = raizn^2(1 + 4n) = n raiz1 + 4n , podemos fatorar 1raizn^2 + 4n = 1n raiz1 + 4n de dentro da raiz:
Então, o termo geral fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando raiz1 + 4n approx raiz1 = 1 fica bem grande. Quando 1n raiz1 + 4n approx 1n tende ao infinito, se aproxima de zero, então:
Portanto, para grande, temos aproximadamente:

Passo 4

A série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela é divergente. Agora, vamos usar o teste de comparação.

Passo 5

No teste de comparação, se compararmos os termos da nossa série com os da série harmônica:
1raizn^2 + 4n >= 1n raiz1 + 4n >= 1n cdot 2 = 12n
Como também é divergente (multiplicação por constante não altera a convergência), segundo o teste de comparação, se a série comparadora diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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