Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(e)
(e)
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a série
é convergente ou divergente usando o teste de comparação. Aqui, vamos trabalhar com séries infinitas e o teste de comparação, que ajuda a comparar a nossa série com uma outra série conhecida para determinar o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observando o denominador
, podemos fatorar
de dentro da raiz:
Então, o termo geral fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando
fica bem grande. Quando
tende ao infinito,
se aproxima de zero, então:
Portanto, para
grande, temos aproximadamente:
Passo 4
A série
é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela é divergente. Agora, vamos usar o teste de comparação.
Passo 5
No teste de comparação, se compararmos os termos da nossa série com os da série harmônica:
Como
também é divergente (multiplicação por constante não altera a convergência), segundo o teste de comparação, se a série comparadora diverge, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.