Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste de comparação para verificar se a série
é convergente ou divergente. Para resolver isso, precisamos entender o que é o teste de comparação e como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, o teste de comparação é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor ou maior que uma série que já sabemos se converge ou diverge, podemos concluir o comportamento da nossa série.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral da série para encontrar uma série com a qual possamos comparar. Observando
, podemos simplificar o denominador:
Quando
é grande,
se aproxima de zero, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, escolhemos a série de comparação
. Sabemos que essa série �� convergente porque é uma série p com
.
Passo 5
Vamos comparar os termos das duas séries:
Como cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série
, e essa última converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série também converge.
Resposta
A série
é convergente.