Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i) sumn=1^infty 1n raizn^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste de comparação para verificar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, precisamos entender o que é o teste de comparação e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, o teste de comparação é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor ou maior que uma série que já sabemos se converge ou diverge, podemos concluir o comportamento da nossa série.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série para encontrar uma série com a qual possamos comparar. Observando raizn^2 + 5 = n raiz1 + 5n^2 , podemos simplificar o denominador:
raiz1 + 5n^2 approx 1
Quando 1n raizn^2+5 approx 1n cdot n = 1n^2 é grande, se aproxima de zero, então:
Portanto:

Passo 4

Agora, escolhemos a série de comparação . Sabemos que essa série �� convergente porque é uma série p com .

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
1n raizn^2+5 < 1n^2
Como cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série , e essa última converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série também converge.

Resposta

A série é convergente.

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