Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva x = 1 + 2 y^2 em torno do eixo x delimitada pelo intervalo 1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo de . Vamos usar cálculo de superfícies de revolução para resolver isso. Precisaremos da fórmula para área de superfície gerada por rotação e calcular algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área de uma superfície gerada ao girar uma curva em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, é a função que estamos girando, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a curva :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não há como simplificar mais essa expressão algebraicamente, então vamos seguir com a integração.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos considerar uma substituição diferente usando integrais padrão ou tabelas de integrais.

Passo 7

Observamos que a integral tem a forma:
Podemos usar substituição :
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando :
Substituindo de volta :

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando os valores:
Para :
Para :

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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nabla . (c u + d v) = c nabla . u + d nabla . v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.
Verifique que o vetor posição r = <x, y, z> tem a propriedade enunciada: rot(r) = 0