Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
onde
são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a divergência é um operador linear. Isso significa que, se tivermos dois campos vetoriais
e
, e duas constantes reais
e
, a divergência da combinação linear desses campos (
) é igual à combinação linear das divergências individuais. Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente as propriedades da divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos considerar a combinação linear dos campos vetoriais:
. Se
e
, então:
Passo 4
Vamos calcular a divergência dessa combinação linear:
Passo 5
Usando a propriedade da derivada que permite distribuir as constantes, temos:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos com
e os com
:
Passo 7
Perceba que os termos dentro dos parênteses são exatamente as divergências dos campos
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso comprova que a divergência é, de fato, um operador linear.
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(b) superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x delimitada pelo intervalo
.
(b) superfície gerada pela rotação da curva
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Experimente resolver a questão considerando função de
e depois função de
Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada:
Encontre o gradiente
e o Laplaciano
para o campo escalar