Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
nabla . (c u + d v) = c nabla . u + d nabla . v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a divergência é um operador linear. Isso significa que, se tivermos dois campos vetoriais e , e duas constantes reais e , a divergência da combinação linear desses campos ( ) é igual à combinação linear das divergências individuais. Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente as propriedades da divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos considerar a combinação linear dos campos vetoriais: . Se e , então:

Passo 4

Vamos calcular a divergência dessa combinação linear:

Passo 5

Usando a propriedade da derivada que permite distribuir as constantes, temos:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos com e os com :

Passo 7

Perceba que os termos dentro dos parênteses são exatamente as divergências dos campos e :

Resposta

Portanto, mostramos que:
Isso comprova que a divergência é, de fato, um operador linear.

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