Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Experimente resolver a questão considerando função de
e depois função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento do arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Isso envolve conceitos de cálculo de comprimento de arco usando integrais. Vamos precisar das fórmulas para comprimento de arco tanto quando a função está em termos de
quanto em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver considerando
como função de
. Para isso, precisamos reescrever a equação da parábola para expressar
em função de
.
Dada a equação
, podemos isolar
:
Agora, para encontrar o comprimento do arco entre
e
, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função
:
Vamos calcular
:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Passo 3
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja:
Mudando os limites de integração:
- Quando
:
- Quando
:
Agora, a integral fica:
Integrando:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
Exercícios relacionados
Justifique as seguintes questões:
é irrotacional.$
Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x delimitada pelo intervalo
.
(b) superfície gerada pela rotação da curva
Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
onde
são campos vetoriais e
e
são constantes reais.