Justifique as seguintes questões: u = < y^2 * z, -z^2 * sen(y) + 2 * x * y * z, 2 * z * cos(y) + y^2 * x > é irrotacional.$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor é irrotacional. Isso significa que precisamos provar que o rotacional desse vetor é igual a zero. O rotacional, ou curl, é uma operação que nos diz a tendência de rotação de um campo vetorial. Se o rotacional for zero, dizemos que o campo é irrotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um vetor . A fórmula do rotacional é:
Vamos identificar , e na nossa questão:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, :
Depois, :
Então, a primeira componente do rotacional é:

Passo 4

Vamos para a segunda componente: .
Primeiro, :
Depois, :
Então, a segunda componente do rotacional é:

Passo 5

Finalmente, a terceira componente: .
Primeiro, :
Depois, :
Então, a terceira componente do rotacional é:

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que é irrotacional.

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Encontre o rot f para o campo vetorial dado: f(x, y) = < e^x cos(y), e^x sen(y) >
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Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
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