Justifique as seguintes questões:
é irrotacional.$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor
é irrotacional. Isso significa que precisamos provar que o rotacional desse vetor é igual a zero. O rotacional, ou curl, é uma operação que nos diz a tendência de rotação de um campo vetorial. Se o rotacional for zero, dizemos que o campo é irrotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um vetor
. A fórmula do rotacional é:
Vamos identificar
,
e
na nossa questão:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a primeira componente do rotacional é:
Passo 4
Vamos para a segunda componente:
.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a segunda componente do rotacional é:
Passo 5
Finalmente, a terceira componente:
.
Primeiro,
:
Depois,
:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Resposta
Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que
é irrotacional.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Encontre o rot
para o campo vetorial dado:
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Experimente resolver a questão considerando função de
e depois função de
Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x delimitada pelo intervalo
.
(b) superfície gerada pela rotação da curva