Verifique que o vetor posição r = <x, y, z> tem a propriedade enunciada: rot(r) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que o vetor posição tem a propriedade de que o rotor (ou “rot”) dele é igual a zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotor (ou rotacional) de um campo vetorial, que é uma operação da Cálculo Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotor de um vetor. O rotor de um vetor é dado por:
Esse operador nos dá uma medida da tendência do vetor de “girar” em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso vetor posição . Aqui, , e .
Vamos calcular cada componente do rotor:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Vendo que todas as componentes do rotor são iguais a zero, isso significa que:
Então, confirmamos que o vetor posição satisfaz a propriedade enunciada.

Resposta

Portanto, verificamos que .

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Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
nabla . (c u + d v) = c nabla . u + d nabla . v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.
Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva x = 1 + 2 y^2 em torno do eixo x delimitada pelo intervalo 1 <= y <= 2.
Encontre o gradiente nabla phi e o Laplaciano nabla^2 phi para o campo escalar
phi(x) = x^2 + x*y + y^2
Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a) tan(x) = sen(x) / cos(x)