Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que o vetor posição
tem a propriedade de que o rotor (ou “rot”) dele é igual a zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotor (ou rotacional) de um campo vetorial, que é uma operação da Cálculo Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotor de um vetor. O rotor de um vetor
é dado por:
Esse operador nos dá uma medida da tendência do vetor
de “girar” em torno de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso vetor posição
. Aqui,
,
e
.
Vamos calcular cada componente do rotor:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Vendo que todas as componentes do rotor são iguais a zero, isso significa que:
Então, confirmamos que o vetor posição
satisfaz a propriedade enunciada.
Resposta
Portanto, verificamos que
.
Exercícios relacionados
Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
onde
são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Cálçule a área das superfícies descritas em cada item.
(b) superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x delimitada pelo intervalo
.
(b) superfície gerada pela rotação da curva
Encontre o gradiente
e o Laplaciano
para o campo escalar
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a)
11a
Sabendo que
(a)