Calcule a área das superfícies S :
b) S é a fronteira da região comum aos cilindros e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das superfícies , que é a fronteira da região comum aos cilindros e . Basicamente, estamos lidando com a interseção de dois cilindros que se cruzam. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que representam esses cilindros. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo , porque as variáveis e estão relacionadas na equação. Já o cilindro também é um cilindro circular com raio 1, mas alinhado ao eixo .

Passo 3

Quando esses dois cilindros se intersectam, eles formam uma região sólida conhecida como sólido de Steinmetz. A fronteira desse sólido é a superfície que queremos calcular a área. Para encontrar essa área, vamos precisar calcular a área de cada uma das curvas de interseção e somá-las.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície. Como temos simetria nos cilindros, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Considerando que e variam de a e depende de e , podemos expressar em função de e .

Passo 5

A área superficial de um sólido é dada pela integral dupla da norma do vetor normal sobre a superfície. No nosso caso, devido à simetria, podemos calcular a área de uma das partes e depois multiplicar pelo número de simetrias presentes.

Passo 6

Após realizar os cálculos de integração (que envolvem a parametrização adequada e a avaliação das integrais), encontramos que a área da superfície é igual a unidades de área.

Resposta

A área da superfície é igual a unidades de área.

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Calcule as seguintes integrais de superfície:
© , onde é o cone , com .
Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) , onde é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.
Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos e .
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por e .