Calcule a área das superfícies S :
b) S é a fronteira da região comum aos cilindros
e
.
b) S é a fronteira da região comum aos cilindros
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das superfícies
, que é a fronteira da região comum aos cilindros
e
. Basicamente, estamos lidando com a interseção de dois cilindros que se cruzam. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que representam esses cilindros. O cilindro
é um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo
, porque as variáveis
e
estão relacionadas na equação. Já o cilindro
também é um cilindro circular com raio 1, mas alinhado ao eixo
.
Passo 3
Quando esses dois cilindros se intersectam, eles formam uma região sólida conhecida como sólido de Steinmetz. A fronteira desse sólido é a superfície
que queremos calcular a área. Para encontrar essa área, vamos precisar calcular a área de cada uma das curvas de interseção e somá-las.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície. Como temos simetria nos cilindros, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração. Considerando que
e
variam de
a
e
depende de
e
, podemos expressar
em função de
e
.
Passo 5
A área superficial de um sólido é dada pela integral dupla da norma do vetor normal sobre a superfície. No nosso caso, devido à simetria, podemos calcular a área de uma das partes e depois multiplicar pelo número de simetrias presentes.
Passo 6
Após realizar os cálculos de integração (que envolvem a parametrização adequada e a avaliação das integrais), encontramos que a área da superfície
é igual a
unidades de área.
Resposta
A área da superfície
é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfície:
© , onde
é o cone
, com
.
©
Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) , onde
é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.
(b)
Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos
e
.
c) S é a parte da superfície cilíndrica
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por
e
.
d) S é a parte da superfície