Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície
, limitada por
e
.
d) S é a parte da superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de uma superfície específica. A gente vai trabalhar com cálculo de superfícies, mais precisamente com integrais duplas para encontrar áreas de superfícies em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da superfície dada e os limites que a delimitam.
Passo 2
Primeiro, a superfície S é parte do cilindro definido por
. Esse é um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo z. Agora, essa parte do cilindro está limitada pelas funções
e
. Ou seja, nossa área está entre o plano z=0 e a curva z=3−x².
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície paramétrica. A fórmula geral é:
Mas como temos um cilindro, vamos parametrizar a superfície de forma conveniente.
Passo 4
Como
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui,
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo, e z varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, calculamos o elemento de área na parametrização cilíndrica. A fórmula simplificada para cilindros é:
Integrando em z primeiro:
Agora, integramos em
:
Mas como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da superfície S é
unidades de área.