Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície x^2 + y^2 = 4, limitada por z = 3 - x^2 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de uma superfície específica. A gente vai trabalhar com cálculo de superfícies, mais precisamente com integrais duplas para encontrar áreas de superfícies em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da superfície dada e os limites que a delimitam.

Passo 2

Primeiro, a superfície S é parte do cilindro definido por . Esse é um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo z. Agora, essa parte do cilindro está limitada pelas funções e . Ou seja, nossa área está entre o plano z=0 e a curva z=3−x².

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície paramétrica. A fórmula geral é:
Á
Mas como temos um cilindro, vamos parametrizar a superfície de forma conveniente.

Passo 4

Como , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui, theta varia de 0 a para cobrir todo o círculo, e z varia de 0 a .

Passo 5

Agora, calculamos o elemento de área na parametrização cilíndrica. A fórmula simplificada para cilindros é:
Á
Integrando em z primeiro:
Agora, integramos em theta:
Á
Mas como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da superfície S é unidades de área.

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