Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da parte da superfície de um cilindro definido pela equação , que está entre os planos e . A gente vai usar um pouco de geometria analítica e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro circular reto com raio , que se estende ao longo do eixo . Agora, precisamos identificar os limites dessa parte do cilindro: está entre o plano inferior e o plano inclinado .

Passo 3

Vamos reescrever o plano inclinado para facilitar: . Isso nos mostra que para cada valor de , o plano corta o cilindro em uma altura .

Passo 4

A área da superfície de um cilindro pode ser calculada pela integral da fórmula , mas como o cilindro é reto e a equação está em coordenadas cilíndricas, podemos simplificar usando a fórmula da área lateral: , onde é a altura.

Passo 5

No nosso caso, a altura não é constante porque o plano inclinado corta o cilindro. Precisamos encontrar a altura média ou integrar ao longo de . Vamos parametrizar o cilindro em coordenadas cilíndricas: , , e varia de a .

Passo 6

A área diferencial na parametrização cilíndrica é . Então, a área total será a dupla integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 9

Resolvendo a integral:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área das superfícies S :
b) S é a fronteira da região comum aos cilindros e .
Calcule as seguintes integrais de superfície:
© , onde é o cone , com .
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por e .
Mostre que a integral do fluxo, , onde é parametrizada como e a normal é dada por pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo: