Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da parte da superfície de um cilindro definido pela equação , que está entre os planos e . A gente vai usar um pouco de geometria analítica e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse é um cilindro circular reto com raio , que se estende ao longo do eixo . Agora, precisamos identificar os limites dessa parte do cilindro: está entre o plano inferior e o plano inclinado .
Passo 3
Vamos reescrever o plano inclinado para facilitar: . Isso nos mostra que para cada valor de , o plano corta o cilindro em uma altura .
Passo 4
A área da superfície de um cilindro pode ser calculada pela integral da fórmula , mas como o cilindro é reto e a equação está em coordenadas cilíndricas, podemos simplificar usando a fórmula da área lateral: , onde é a altura.
Passo 5
No nosso caso, a altura não é constante porque o plano inclinado corta o cilindro. Precisamos encontrar a altura média ou integrar ao longo de . Vamos parametrizar o cilindro em coordenadas cilíndricas: , , e varia de a .
Passo 6
A área diferencial na parametrização cilíndrica é . Então, a área total será a dupla integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :