Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro
, limitado pelo plano
e o cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das superfícies de uma parte do cilindro definida pela equação
, que está limitada pelo plano
e pelo cone
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares, já que lidamos com superfícies cilíndricas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular de raio 1, centrado ao longo da linha
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites verticais da superfície. O cilindro está limitado pelo plano
(que é o plano
) na parte inferior e pelo cone
na parte superior. O cone pode ser reescrito como
em coordenadas polares, onde
.
Passo 4
Para calcular a área da superfície do cilindro entre
e
, vamos parametrizar a superfície cilíndrica. Em coordenadas cilíndricas, a parametrização do cilindro é:
Onde
(raio do cilindro) e
varia de
a
.
Passo 5
O próximo passo é calcular o elemento de área na parametrização. Para uma superfície parametrizada por
e
:
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial
é:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
. Como o cilindro está limitado pelo cone
(já que
no cilindro),
varia de
a
.
Também,
varia de
a
.
Passo 7
Assim, a área
da superfície é dada pela integral dupla:
Resposta
A área das superfícies é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre
e
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta
, em torno do eixo
.
Calcule
, onde
e
, com
.
Calcule
, onde
e
é a porção do cilindro
, no primeiro octante, entre os planos
e
.