Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro , limitado pelo plano e o cone .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das superfícies de uma parte do cilindro definida pela equação , que está limitada pelo plano e pelo cone . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares, já que lidamos com superfícies cilíndricas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular de raio 1, centrado ao longo da linha no plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites verticais da superfície. O cilindro está limitado pelo plano (que é o plano ) na parte inferior e pelo cone na parte superior. O cone pode ser reescrito como em coordenadas polares, onde .

Passo 4

Para calcular a área da superfície do cilindro entre e , vamos parametrizar a superfície cilíndrica. Em coordenadas cilíndricas, a parametrização do cilindro é:
Onde (raio do cilindro) e varia de a .

Passo 5

O próximo passo é calcular o elemento de área na parametrização. Para uma superfície parametrizada por e :
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é .

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Como o cilindro está limitado pelo cone (já que no cilindro), varia de a .
Também, varia de a .

Passo 7

Assim, a área da superfície é dada pela integral dupla:

Resposta

A área das superfícies é unidades de área.

Exercícios relacionados

Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre e .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , em torno do eixo .
Calcule , onde
e , com .
Calcule , onde
e é a porção do cilindro , no primeiro octante, entre os planos e .