Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde
f(x, y, z)=x^2 z e S: x^2+y^2=a^2, a>0, com 0 <= z <= 1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) , dS, onde a função é f(x, y, z) = x^2 z. A superfície S é um cilindro definido por x^2 + y^2 = a^2, com z variando de 0 até 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para trabalhar com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
Como a equação do cilindro é x^2 + y^2 = a^2, isso significa que r = a. Então, nosso cilindro fica fixo em r = a e z varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função f em coordenadas cilíndricas:
f(x, y, z) = x^2 z = (r cos theta)^2 z = r^2 cos^2 theta cdot z
Como r = a, fica:
f = a^2 cos^2 theta cdot z
Também precisamos do elemento de área dS para o cilindro. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície lateral de cilindro, temos:
dS = r , dtheta , dz
Como r = a, então:
dS = a , dtheta , dz

Passo 4

Agora, montamos a integral de superfície:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integralz=0^1 integraltheta=0^2pi a^2 cos^2 theta cdot z cdot a , dtheta , dz
Simplificando:
= a^3 integral0^1 z ( integral0^2pi cos^2 theta , dtheta ) dz
Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Então:
= a^3 cdot pi integral0^1 z , dz = a^3 cdot pi [ z^22 ]0^1 = a^3 cdot pi cdot 12 = a^3 pi2

Resposta

dfraca^3 pi2

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