Calcule , onde
e , com .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde a função é . A superfície é um cilindro definido por , com variando de até . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para trabalhar com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Como a equação do cilindro é , isso significa que . Então, nosso cilindro fica fixo em e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas:
Como , fica:
Também precisamos do elemento de área para o cilindro. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície lateral de cilindro, temos:
Como , então:

Passo 4

Agora, montamos a integral de superfície:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:

Resposta

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Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro , limitado pelo plano e o cone .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre e .
Calcule , onde
e é a porção do cilindro , no primeiro octante, entre os planos e .
Seja a porção da esfera que se encontra dentro do parabolóide . Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .