Calcule
, onde
e
, com
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
, onde a função é
. A superfície
é um cilindro definido por
, com
variando de
até
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para trabalhar com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Como a equação do cilindro é
, isso significa que
. Então, nosso cilindro fica fixo em
e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas:
Como
, fica:
Também precisamos do elemento de área
para o cilindro. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície lateral de cilindro, temos:
Como
, então:
Passo 4
Agora, montamos a integral de superfície:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Resposta
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Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro
, limitado pelo plano
e o cone
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre
e
.
Calcule
, onde
e
é a porção do cilindro
, no primeiro octante, entre os planos
e
.
Seja
a porção da esfera
que se encontra dentro do parabolóide
. Calcule a massa de
sabendo que a densidade de massa em cada ponto
é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.