Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros: : parte do cilindro , que fica entre e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para parametrizar uma superfície específica, que é uma parte do cilindro definido por , e essa parte está entre e . O conteúdo que vamos usar aqui é de geometria analítica, especificamente o estudo de cilindros e parametrizações de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar as coordenadas , e em termos de parâmetros que descrevem toda a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular com raio 1, deslocado no eixo para . Visualizando, é como se tivéssemos um tubo circular ao longo do eixo , centrado em .
Passo 3
Agora, para parametrizar essa superfície, vamos usar coordenadas polares deslocadas. Vamos introduzir um parâmetro angular que varia de 0 a para descrever pontos ao redor do círculo central do cilindro.
Então, podemos expressar e da seguinte forma:
Aqui, é o nosso parâmetro que percorre o círculo de raio 1 deslocado para .
Passo 4
Agora, precisamos considerar a coordenada . Segundo o enunciado, varia entre 0 e . Vamos expressar em termos de :
Portanto, varia de 0 a .
Passo 5
Então, juntando tudo, a parametrização da superfície é dada por: