Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S : parte do cilindro x^2 + y^2 = 2y, que fica entre z = 0 e z = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para parametrizar uma superfície específica, que é uma parte do cilindro definido por , e essa parte está entre e . O conteúdo que vamos usar aqui é de geometria analítica, especificamente o estudo de cilindros e parametrizações de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar as coordenadas , e em termos de parâmetros que descrevem toda a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular com raio 1, deslocado no eixo para . Visualizando, é como se tivéssemos um tubo circular ao longo do eixo , centrado em .

Passo 3

Agora, para parametrizar essa superfície, vamos usar coordenadas polares deslocadas. Vamos introduzir um parâmetro angular que varia de 0 a para descrever pontos ao redor do círculo central do cilindro.
Então, podemos expressar e da seguinte forma:
Aqui, é o nosso parâmetro que percorre o círculo de raio 1 deslocado para .

Passo 4

Agora, precisamos considerar a coordenada . Segundo o enunciado, varia entre 0 e . Vamos expressar em termos de :
Portanto, varia de 0 a .

Passo 5

Então, juntando tudo, a parametrização da superfície é dada por:
Onde varia de 0 a e varia de 0 a .

Resposta

A parametrização da superfície é:
Com os parâmetros no domínio:

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