Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de parametrização de superfícies. O enunciado pede para a gente parametrizar a superfície
, que é uma superfície de revolução formada ao girar o segmento de reta
, onde
e
, em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma superfície de revolução. Basicamente, é a superfície que a gente forma ao girar uma curva plana em torno de um eixo. No nosso caso, a curva é o segmento de reta
e o eixo de rotação é o eixo
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a equação parametrizada do segmento de reta
. Para isso, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde
corresponde ao ponto
e
ao ponto
. As coordenadas de qualquer ponto
no segmento
podem ser dadas por:
Calculando
, temos:
Então, a parametrização do segmento fica:
onde
.
Passo 4
Agora, para gerar a superfície de revolução ao redor do eixo
, vamos introduzir um segundo parâmetro, digamos
, que representa o ângulo de rotação em torno do eixo
. O intervalo de
será de
a
para cobrir toda a rotação.
Passo 5
A parametrização final da superfície
será então:
Substituindo
e
da parametrização do segmento
:
onde
e
.
Resposta
A parametrização da superfície
é dada por:
com os parâmetros
e
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a esfera
, com
exterior.
Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado por
e o plano
, com
exterior.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre
e
.
Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro
, limitado pelo plano
e o cone
.