Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de parametrização de superfícies. O enunciado pede para a gente parametrizar a superfície , que é uma superfície de revolução formada ao girar o segmento de reta , onde e , em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma superfície de revolução. Basicamente, é a superfície que a gente forma ao girar uma curva plana em torno de um eixo. No nosso caso, a curva é o segmento de reta e o eixo de rotação é o eixo .

Passo 3

Vamos começar encontrando a equação parametrizada do segmento de reta . Para isso, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1, onde corresponde ao ponto e ao ponto . As coordenadas de qualquer ponto no segmento podem ser dadas por:
Calculando , temos:
Então, a parametrização do segmento fica:
onde .

Passo 4

Agora, para gerar a superfície de revolução ao redor do eixo , vamos introduzir um segundo parâmetro, digamos , que representa o ângulo de rotação em torno do eixo . O intervalo de será de a para cobrir toda a rotação.

Passo 5

A parametrização final da superfície será então:
Substituindo e da parametrização do segmento :
onde e .

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
com os parâmetros e .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a esfera , com exterior.
Calcule , onde
e é a superfície do sólido limitado por e o plano , com exterior.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre e .
Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro , limitado pelo plano e o cone .