Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S : superfície de revolução obtida girando o segmento de reta A B, A=(4,1,0), B=(2,4,0), em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de parametrização de superfícies. O enunciado pede para a gente parametrizar a superfície S, que é uma superfície de revolução formada ao girar o segmento de reta , onde e , em torno do eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma superfície de revolução. Basicamente, é a superfície que a gente forma ao girar uma curva plana em torno de um eixo. No nosso caso, a curva é o segmento de reta e o eixo de rotação é o eixo x.

Passo 3

Vamos começar encontrando a equação parametrizada do segmento de reta . Para isso, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde t = 0 corresponde ao ponto A e t = 1 ao ponto B. As coordenadas de qualquer ponto P no segmento podem ser dadas por:
Calculando , temos:
Então, a parametrização do segmento fica:
onde .

Passo 4

Agora, para gerar a superfície de revolução ao redor do eixo x, vamos introduzir um segundo parâmetro, digamos theta, que representa o ângulo de rotação em torno do eixo x. O intervalo de theta será de 0 a para cobrir toda a rotação.

Passo 5

A parametrização final da superfície S será então:
Substituindo x(t) e y(t) da parametrização do segmento :
onde e .

Resposta

A parametrização da superfície S é dada por:
com os parâmetros e .

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