Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde
f(x, y, z)=x^2 y^2 e S é a porção do cilindro x^2+y^2=a^2, a>0, no primeiro octante, entre os planos z=y e z=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície dupla de sobre a porção do cilindro que está no primeiro octante, entre os planos e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrização de superfícies cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. O cilindro é uma superfície circular com raio . O primeiro octante significa que , e são todos positivos. Além disso, estamos limitando entre os planos e .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e permanece como está. Nesse sistema, varia de a para cobrir o primeiro octante.

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície r(theta, z) = (a cos theta, a sin theta, z) . Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície do cilindro pode ser representado por:
onde e varia entre e .

Passo 5

A integral de superfície dupla é dada por:
integral duplaS f(x, y, z) , dS
Para calcular dS = a , dz , dtheta , usamos a seguinte fórmula em coordenadas cilíndricas:
Isso porque, na direção , o elemento é , e na direção angular , o elemento de comprimento é .

Passo 6

Substituindo x = a cos theta e y = a sin theta e as coordenadas cilíndricas na integral, temos:
f(x, y, z) = (a cos theta)^2 (a sin theta)^2 = a^4 cos^2 theta sin^2 theta
Portanto,

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral como:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^pi2 integrala sin theta^2a sin theta a^4 cos^2 theta sin^2 theta cdot a , dz , dtheta
Simplificando:
= a^5 integral0^pi2 cos^2 theta sin^2 theta ( 2a sin theta - a sin theta ) , dtheta
= a^5 integral0^pi2 cos^2 theta sin^2 theta (a sin theta) , dtheta
= a^6 integral0^pi2 cos^2 theta sin^3 theta , dtheta

Passo 8

Para resolver a integral integral cos^2 theta sin^3 theta , dtheta = integral u^2 (1 - u^2) sin theta , (-du) , podemos usar uma substituição. Vamos deixar = integral u^2 (1 - u^2) , du = integral ( u^2 - u^4 ) du , então = u^33 - u^55 + C = cos^3 theta3 - cos^5 theta5 + C . Reescrevendo a integral:
[ cos^3 theta3 - cos^5 theta5 ]0^pi2 = (0 - 0) - ( 13 - 15 ) = 215
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = a^6 cdot 215 = 2a^615

Resposta

integral duplaS f(x, y, z) , dS = 2a^615

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