Calcule
, onde
e
é a porção do cilindro
, no primeiro octante, entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície dupla de
sobre a porção do cilindro
que está no primeiro octante, entre os planos
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrização de superfícies cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. O cilindro
é uma superfície circular com raio
. O primeiro octante significa que
,
e
são todos positivos. Além disso, estamos limitando
entre os planos
e
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
permanece como está. Nesse sistema,
varia de
a
para cobrir o primeiro octante.
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície do cilindro pode ser representado por:
onde
e
varia entre
e
.
Passo 5
A integral de superfície dupla é dada por:
Para calcular
, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cilíndricas:
Isso porque, na direção
, o elemento é
, e na direção angular
, o elemento de comprimento é
.
Passo 6
Substituindo
e as coordenadas cilíndricas na integral, temos:
Portanto,
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral como:
Simplificando:
Passo 8
Para resolver a integral
, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
, então
. Reescrevendo a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Voltando à nossa integral original:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
, com
.
Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro
, limitado pelo plano
e o cone
.
Seja
a porção da esfera
que se encontra dentro do parabolóide
. Calcule a massa de
sabendo que a densidade de massa em cada ponto
é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
Calcule
, onde
e
é a parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e
apontando para o eixo
.