Calcule , onde
e é a porção do cilindro , no primeiro octante, entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície dupla de sobre a porção do cilindro que está no primeiro octante, entre os planos e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrização de superfícies cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos integrando. O cilindro é uma superfície circular com raio . O primeiro octante significa que , e são todos positivos. Além disso, estamos limitando entre os planos e .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e permanece como está. Nesse sistema, varia de a para cobrir o primeiro octante.

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície do cilindro pode ser representado por:
onde e varia entre e .

Passo 5

A integral de superfície dupla é dada por:
Para calcular , usamos a seguinte fórmula em coordenadas cilíndricas:
Isso porque, na direção , o elemento é , e na direção angular , o elemento de comprimento é .

Passo 6

Substituindo e as coordenadas cilíndricas na integral, temos:
Portanto,

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral como:
Simplificando:

Passo 8

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição. Vamos deixar , então . Reescrevendo a integral:
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Voltando à nossa integral original:

Resposta

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Calcule , onde
e , com .
Calcule a área das superfícies:
: parte do cilindro , limitado pelo plano e o cone .
Seja a porção da esfera que se encontra dentro do parabolóide . Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Calcule , onde
e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e apontando para o eixo .