Calcule a área das superfícies:
: parte do cone
, que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a área de uma parte específica de um cone. Aqui está o resumo:
- Enunciado: Calcular a área da superfície
, que é a parte do cone que está dentro do cilindro e fora do cilindro . - Matéria envolvida: Cálculo de áreas de superfícies usando coordenadas polares e integração.
- O que vamos precisar: Entender como representar as superfícies e os cilindros em coordenadas polares, identificar os limites de integração e aplicar a fórmula da área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cone
. Esse é um cone circular com o vértice na origem e que se estende para cima. Em coordenadas polares, onde
e
, a equação do cone fica:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os cilindros que delimitam a parte do cone que queremos:
- Cilindro interno:
. Em coordenadas polares, isso é simplesmente . - Cilindro externo:
. Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Então, o cilindro externo é
.
Passo 4
Precisamos encontrar os limites de
e
para a região que está dentro de
e fora de
. Vamos determinar para quais valores de
essas duas equações se intersectam:
Então, os limites de
são de
a
.
Passo 5
Para calcular a área da superfície do cone, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Assim, a fórmula da área simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Para
entre
e
,
varia de 1 a
. Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, lembramos que
. Então:
Substituindo de volta:
Passo 9
Vamos agora integrar termo a termo:
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
A área da superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro
, entre os planos
e
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano
no interior do cilindro
.
Calcule
, onde
e : é a parte da superfície cônica
, limitada por
, com
.
Seja
a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide
e superiormente pelo plano
. Se a densidade de massa é dada por
, calcule a massa de
.