Calcule a área das superfícies:
: parte do cone , que se encontra dentro do cilindro , fora do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a área de uma parte específica de um cone. Aqui está o resumo:
  • Enunciado: Calcular a área da superfície , que é a parte do cone que está dentro do cilindro e fora do cilindro .
  • Matéria envolvida: Cálculo de áreas de superfícies usando coordenadas polares e integração.
  • O que vamos precisar: Entender como representar as superfícies e os cilindros em coordenadas polares, identificar os limites de integração e aplicar a fórmula da área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cone . Esse é um cone circular com o vértice na origem e que se estende para cima. Em coordenadas polares, onde e , a equação do cone fica:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos analisar os cilindros que delimitam a parte do cone que queremos:
  1. Cilindro interno: . Em coordenadas polares, isso é simplesmente .
  2. Cilindro externo: . Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Então, o cilindro externo é .

Passo 4

Precisamos encontrar os limites de e para a região que está dentro de e fora de . Vamos determinar para quais valores de essas duas equações se intersectam:
Então, os limites de são de a .

Passo 5

Para calcular a área da superfície do cone, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Assim, a fórmula da área simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração. Para entre e , varia de 1 a . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, lembramos que . Então:
Substituindo de volta:

Passo 9

Vamos agora integrar termo a termo:
Calculando cada parte:
Então,

Resposta

A área da superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro , entre os planos e .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano no interior do cilindro .
Calcule , onde
e : é a parte da superfície cônica , limitada por , com .
Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .