Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano no interior do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrize a superfície , que é a parte do plano dentro do cilindro . Isso significa que vamos representar essa parte do plano usando parâmetros, geralmente e , e também definir os valores que e podem assumir para cobrir toda a superfície. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para isolar uma das variáveis no plano e considerar as restrições impostas pelo cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, . A equação do plano é:
Isolando :
Agora, temos em termos de e . Isso é útil porque vamos usar e como nossos parâmetros.

Passo 3

Vamos escolher e como parâmetros, ou seja, e . Então, a parametrização fica:
Agora, precisamos definir o domínio para e , ou seja, quais valores esses parâmetros podem assumir para que a superfície esteja dentro do cilindro .

Passo 4

A condição de estar dentro do cilindro significa que:
Isso descreve um círculo de raio 1 no plano . Portanto, nossos parâmetros e devem satisfazer essa desigualdade para que a superfície esteja dentro do cilindro.

Passo 5

Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde e , com variando de 0 a 1 e variando de 0 a . Assim, a parametrização fica:
E o domínio dos parâmetros é:

Resposta

A parametrização da superfície é:
com os parâmetros no domínio:

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Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre os planos e .
Determine a velocidade e a aceleração da curva em
Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro , entre os planos e .
Calcule a área das superfícies:
: parte do cone , que se encontra dentro do cilindro , fora do cilindro .