Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano
no interior do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrize a superfície
, que é a parte do plano
dentro do cilindro
. Isso significa que vamos representar essa parte do plano usando parâmetros, geralmente
e
, e também definir os valores que
e
podem assumir para cobrir toda a superfície. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para isolar uma das variáveis no plano e considerar as restrições impostas pelo cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo,
. A equação do plano é:
Isolando
:
Agora, temos
em termos de
e
. Isso é útil porque vamos usar
e
como nossos parâmetros.
Passo 3
Vamos escolher
e
como parâmetros, ou seja,
e
. Então, a parametrização fica:
Agora, precisamos definir o domínio para
e
, ou seja, quais valores esses parâmetros podem assumir para que a superfície esteja dentro do cilindro
.
Passo 4
A condição de estar dentro do cilindro
significa que:
Isso descreve um círculo de raio 1 no plano
. Portanto, nossos parâmetros
e
devem satisfazer essa desigualdade para que a superfície esteja dentro do cilindro.
Passo 5
Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
variando de 0 a 1 e
variando de 0 a
. Assim, a parametrização fica:
E o domínio dos parâmetros é:
Resposta
A parametrização da superfície
é:
com os parâmetros no domínio:
Exercícios relacionados
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre os planos
e
.
Determine a velocidade e a aceleração da curva
em
Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro
, entre os planos
e
.
Calcule a área das superfícies:
: parte do cone
, que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
.