Calcule
, onde
e : é a parte da superfície cônica
, limitada por
, com
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a parte do cone definido por
, limitada pela superfície
e com
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular a integral usando coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. As duas superfícies se intersectam quando
. Resolvendo isso:
Então, a região de integração é o disco de raio 2 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o cone
. Em coordenadas polares, temos:
Aqui,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Precisamos calcular o elemento de área
na superfície do cone. Para isso, usamos a fórmula:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Expressamos a função
em coordenadas polares:
Passo 6
Agora, montamos a integral:
Passo 7
Calculamos a integral em
:
Passo 8
Agora, calculamos a integral em
:
Isso foi obtido usando identidades trigonométricas e integrais padrão.
Passo 9
Finalmente, substituímos os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície é
.