Calcule , onde
e : é a parte da superfície cônica , limitada por , com .

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do cone definido por , limitada pela superfície e com . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular a integral usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. As duas superfícies se intersectam quando . Resolvendo isso:
Então, a região de integração é o disco de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o cone . Em coordenadas polares, temos:
Aqui, varia de 0 a 2 e varia de 0 a .

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área na superfície do cone. Para isso, usamos a fórmula:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Expressamos a função em coordenadas polares:

Passo 6

Agora, montamos a integral:

Passo 7

Calculamos a integral em :

Passo 8

Agora, calculamos a integral em :
Isso foi obtido usando identidades trigonométricas e integrais padrão.

Passo 9

Finalmente, substituímos os resultados das integrais:

Resposta

A integral de superfície é .

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: parte do cone , que se encontra dentro do cilindro , fora do cilindro .
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