Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde
f(x, y, z)=x^2 y^2 z^2 e : é a parte da superfície cônica z=raizx^2+y^2, limitada por z=4-raizx^2+y^2, com z >= 0.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) , dS, onde f(x, y, z) = x^2 y^2 z^2. A superfície S é a parte do cone definido por z = raizx^2 + y^2, limitada pela superfície z = 4 - raizx^2 + y^2 e com z >= 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular a integral usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. As duas superfícies se intersectam quando raizx^2 + y^2 = 4 - raizx^2 + y^2. Resolvendo isso:
2raizx^2 + y^2 = 4 implies raizx^2 + y^2 = 2 implies x^2 + y^2 = 4
Então, a região de integração é o disco de raio 2 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o cone z = raizx^2 + y^2. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = r
Aqui, r varia de 0 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área dS na superfície do cone. Para isso, usamos a fórmula:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
No nosso caso, partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0, então:
dS = raiz1 + 0 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Expressamos a função f(x, y, z) em coordenadas polares:
f(r, theta) = (r costheta)^2 (r sintheta)^2 r^2 = r^6 cos^2theta sin^2theta

Passo 6

Agora, montamos a integral:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^2 r^6 cos^2theta sin^2theta cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi cos^2theta sin^2theta , dtheta integral0^2 r^7 , dr

Passo 7

Calculamos a integral em r:
integral0^2 r^7 , dr = [ r^88 ]0^2 = 2568 = 32

Passo 8

Agora, calculamos a integral em theta:
integral0^2pi cos^2theta sin^2theta , dtheta = pi4
Isso foi obtido usando identidades trigonométricas e integrais padrão.

Passo 9

Finalmente, substituímos os resultados das integrais:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = raiz2 cdot pi4 cdot 32 = 8 raiz2 pi

Resposta

A integral de superfície é 8 raiz2 pi.

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