Seja
a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide
e superiormente pelo plano
. Se a densidade de massa é dada por
, calcule a massa de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a massa de um sólido limitado por um parabolóide e um plano. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, que ajudam a simplificar a resolução de sólidos com simetria circular. Vamos precisar entender como configurar os limites da integral e aplicar a fórmula da massa com a densidade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. Ele é limitado inferiormente pelo parabolóide
e superiormente pelo plano
. Como a equação do parabolóide é simétrica em relação ao eixo
, faz sentido usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos. Nas coordenadas cilíndricas, temos
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. O parabolóide
está na base, e o plano
está no topo. Assim, para
, os limites serão de
até
. Para
, como quando
,
, então
vai de 0 a 1. E para
, como estamos cobrindo toda a volta, ele varia de 0 a
.
Passo 4
A densidade é dada por
. Em coordenadas cilíndricas, a massa
é dada pela integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integramos em relação a
:
- Agora, integramos em relação a
:
- Finalmente, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e : é a parte da superfície cônica
, limitada por
, com
.
Calcule a área das superfícies:
: parte do cone
, que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
.
Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento
e raio da base
, com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é
, onde
é a massa total.
Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone
de altura
que está no primeiro octante com densidade constante é
, onde
é a massa total.