Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a massa de um sólido limitado por um parabolóide e um plano. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais triplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, que ajudam a simplificar a resolução de sólidos com simetria circular. Vamos precisar entender como configurar os limites da integral e aplicar a fórmula da massa com a densidade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. Ele é limitado inferiormente pelo parabolóide e superiormente pelo plano . Como a equação do parabolóide é simétrica em relação ao eixo , faz sentido usar coordenadas cilíndricas para simplificar os cálculos. Nas coordenadas cilíndricas, temos , , e .

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. O parabolóide está na base, e o plano está no topo. Assim, para , os limites serão de até . Para , como quando , , então vai de 0 a 1. E para , como estamos cobrindo toda a volta, ele varia de 0 a .

Passo 4

A densidade é dada por . Em coordenadas cilíndricas, a massa é dada pela integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integramos em relação a :
  1. Agora, integramos em relação a :
  1. Finalmente, integramos em relação a :
Multiplicando tudo, temos:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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Calcule , onde
e : é a parte da superfície cônica , limitada por , com .
Calcule a área das superfícies:
: parte do cone , que se encontra dentro do cilindro , fora do cilindro .
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