Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro , entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície , que é uma parte do cilindro definido pela equação . Essa porção está entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em cilindros e entender como configurar a integral para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa é a equação de um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo . Ou seja, para qualquer valor de , a base do cilindro no plano é um círculo de raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de . Temos dois planos: e . Isso significa que para cada ponto no cilindro, varia de até . Vamos precisar integrar essa variação ao calcular a área.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro circular. Em coordenadas polares, temos:
onde varia de a .

Passo 5

Com isso, os limites para são:
A altura em qualquer ponto será .

Passo 6

A área da superfície do cilindro pode ser calculada pela integral:
onde (raio do cilindro).

Passo 7

Substituindo os limites de :

Passo 8

Integrando de a :
Mas, a área não pode ser zero, então precisamos considerar o valor absoluto da altura, já que pode ser negativo.

Passo 9

Então, a área total é:
Isso porque a integral de de a é igual a 4.

Resposta

A área da superfície é igual a 4 unidades quadradas.

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Calcule , onde
e : é a parte da superfície cônica , limitada por , com .