Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro
, entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície
, que é uma parte do cilindro definido pela equação
. Essa porção está entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em cilindros e entender como configurar a integral para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Essa é a equação de um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo
. Ou seja, para qualquer valor de
, a base do cilindro no plano
é um círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de
. Temos dois planos:
e
. Isso significa que para cada ponto no cilindro,
varia de
até
. Vamos precisar integrar essa variação ao calcular a área.
Passo 4
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro circular. Em coordenadas polares, temos:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Com isso, os limites para
são:
A altura em qualquer ponto
será
.
Passo 6
A área da superfície do cilindro pode ser calculada pela integral:
onde
(raio do cilindro).
Passo 7
Substituindo os limites de
:
Passo 8
Integrando
de
a
:
Mas, a área não pode ser zero, então precisamos considerar o valor absoluto da altura, já que
pode ser negativo.
Passo 9
Então, a área total é:
Isso porque a integral de
de
a
é igual a 4.
Resposta
A área da superfície
é igual a 4 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano
no interior do cilindro
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre os planos
e
.
Calcule a área das superfícies:
: parte do cone
, que se encontra dentro do cilindro
, fora do cilindro
.
Calcule
, onde
e : é a parte da superfície cônica
, limitada por
, com
.