Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera
, interior ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte da esfera
que está dentro do cone
. A gente vai precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo, mais especificamente integração em coordenadas esféricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a esfera e o cone se encontram. Para isso, vamos igualar as equações:
Elevando a segunda equação ao quadrado, temos:
Substituindo
da segunda equação na primeira:
Então, a interseção acontece quando
. Agora, vamos descobrir o raio dessa interseção na esfera.
Passo 3
Na interseção, sabemos que
. Substituindo na equação do cone:
Portanto, o raio da interseção é
.
Passo 4
Agora, queremos a área da parte da esfera que está acima de
. Isso é conhecido como um galo da esfera ou capelo esférico. A fórmula para a área de um capelo esférico é:
onde
é o raio da esfera e
é a altura do capelo.
Passo 5
Aqui, o raio
(já que
) e a altura
(porque
vai de 1 até o topo da esfera, que é 2).
Substituindo na fórmula:
Resposta
A área da superfície
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Seja
a superfície de rotação obtida girando
em torno do eixo
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Calcule a massa da superfície
parte do plano
dentro do cilindro
, sendo a densidade dada por
.
O cilindro
divide a esfera
em duas regiões
e
, onde
está no interior do cilindro e
fora. Ache a razão das áreas
.
Calcule
, onde
e
é a porção da esfera
, limitada pelos planos
e
.