Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera , interior ao cone .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da parte da esfera que está dentro do cone . A gente vai precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo, mais especificamente integração em coordenadas esféricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a esfera e o cone se encontram. Para isso, vamos igualar as equações:
Elevando a segunda equação ao quadrado, temos:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Então, a interseção acontece quando . Agora, vamos descobrir o raio dessa interseção na esfera.

Passo 3

Na interseção, sabemos que . Substituindo na equação do cone:
Portanto, o raio da interseção é .

Passo 4

Agora, queremos a área da parte da esfera que está acima de . Isso é conhecido como um galo da esfera ou capelo esférico. A fórmula para a área de um capelo esférico é:
onde é o raio da esfera e é a altura do capelo.

Passo 5

Aqui, o raio (já que ) e a altura (porque vai de 1 até o topo da esfera, que é 2).
Substituindo na fórmula:

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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Calcule , onde
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