Calcule , onde e é a porção da esfera , limitada pelos planos e .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é a parte da esfera limitada pelos planos e . Basicamente, vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e aplicar técnicas de integração em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que na esfera dada, . Logo, . Então, a integral fica:
Isso significa que precisamos calcular apenas 6 vezes a área da superfície .
Passo 3
Para achar a área da seção da esfera limitada pelos planos e , vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
Aqui, é o raio da esfera, que é 6, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.
Passo 4
A ��rea diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
dS = rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Como estamos na esfera de raio 6, dS = 36 sinphi , dphi , dtheta , então:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração para 3 = 6 cosphi Rightarrow cosphi = 12 Rightarrow phi = pi3 e .
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do z.
Para , precisamos encontrar os ângulos que correspondem aos planos e .