Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e S é a porção da esfera x^2+y^2+z^2=36, limitada pelos planos z=0 e z=3.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é a parte da esfera limitada pelos planos e . Basicamente, vamos precisar entender como parametrizar essa superfície e aplicar técnicas de integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função integral duplaS 6 , dS = 6 integral duplaS dS . Observamos que na esfera dada, . Logo, . Então, a integral fica:
Isso significa que precisamos calcular apenas 6 vezes a área da superfície .

Passo 3

Para achar a área da seção da esfera limitada pelos planos x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi e , vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
Aqui, é o raio da esfera, que é 6, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 4

A ��rea diferencial em coordenadas esféricas é dada por:
dS = rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Como estamos na esfera de raio 6, dS = 36 sinphi , dphi , dtheta , então:

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para 3 = 6 cosphi Rightarrow cosphi = 12 Rightarrow phi = pi3 e .
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do z.
  • Para , precisamos encontrar os ângulos que correspondem aos planos e .
Quando , temos .
Quando , temos:
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral da área:
integral duplaS dS = integral0^2pi integralpi3^pi2 36 sinphi , dphi , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integralpi3^pi2 36 sinphi , dphi = 36 [ -cosphi ]pi3^pi2 = 36 ( -cospi2 + cospi3 ) = 36 ( 0 + 12 ) = 18 :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^2pi 18 , dtheta = 18 times 2pi = 36pi :

Passo 8

Lembrando que a integral original é 6 vezes a área calculada:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = 6 times 36pi = 216pi

Resposta

integral duplaS f(x, y, z) , dS = 216pi

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