Seja a superfície de rotação obtida girando em torno do eixo . Calcule a massa de , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por para . Essa curva vai ser girada em torno do eixo para criar uma superfície de rotação . A gente precisa calcular a massa dessa superfície, considerando que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo . Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies de rotação e integrar com uma função de densidade que depende da distância ao eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . A equação nos diz como varia com . Sabendo que , podemos traçar essa curva no plano .

Passo 3

Como vamos girar essa curva em torno do eixo , a superfície resultante será uma espécie de “anel” esticado ao longo do eixo . Para calcular a massa dessa superfície, precisamos considerar uma pequena área da superfície e somar todas essas áreas ponderadas pela densidade.

Passo 4

A densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo . Como estamos girando em torno do eixo , essa distância é justamente o valor de . Então, podemos dizer que a densidade é igual a .

Passo 5

Agora, para calcular a massa, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde é um elemento de área na superfície .

Passo 6

Para superfícies de rotação, o elemento de área pode ser expresso como:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 7

Vamos calcular para a nossa curva :
Então,

Passo 8

Agora, substituímos e na fórmula da massa:

Passo 9

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Seja , então ou .

Passo 11

Substituímos na integral:
Calculando os limites:
Então, a integral é:

Passo 12

Integrando :
Calculando e :

Resposta

A massa da superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro , sendo a densidade dada por .
Calcule , onde
e é a região triangular com vértices e .
Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera , interior ao cone .
O cilindro divide a esfera em duas regiões e , onde está no interior do cilindro e fora. Ache a razão das áreas .