Seja
a superfície de rotação obtida girando
em torno do eixo
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
definida por
para
. Essa curva vai ser girada em torno do eixo
para criar uma superfície de rotação
. A gente precisa calcular a massa dessa superfície, considerando que a densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo
. Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies de rotação e integrar com uma função de densidade que depende da distância ao eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. A equação
nos diz como
varia com
. Sabendo que
, podemos traçar essa curva no plano
.
Passo 3
Como vamos girar essa curva em torno do eixo
, a superfície resultante
será uma espécie de “anel” esticado ao longo do eixo
. Para calcular a massa dessa superfície, precisamos considerar uma pequena área da superfície e somar todas essas áreas ponderadas pela densidade.
Passo 4
A densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo
. Como estamos girando em torno do eixo
, essa distância é justamente o valor de
. Então, podemos dizer que a densidade
é igual a
.
Passo 5
Agora, para calcular a massa, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde
é um elemento de área na superfície
.
Passo 6
Para superfícies de rotação, o elemento de área
pode ser expresso como:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 7
Vamos calcular
para a nossa curva
:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos
e
na fórmula da massa:
Passo 9
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Seja
, então
ou
.
Passo 11
Substituímos na integral:
Calculando os limites:
Então, a integral é:
Passo 12
Integrando
:
Calculando
e
:
Resposta
A massa da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a massa da superfície
parte do plano
dentro do cilindro
, sendo a densidade dada por
.
Calcule
, onde
e
é a região triangular com vértices
e
.
Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera
, interior ao cone
.
O cilindro
divide a esfera
em duas regiões
e
, onde
está no interior do cilindro e
fora. Ache a razão das áreas
.