O cilindro
divide a esfera
em duas regiões
e
, onde
está no interior do cilindro e
fora. Ache a razão das áreas
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro dado pela equação
que corta uma esfera
definida por
. Isso divide a esfera em duas partes:
, que está dentro do cilindro, e
, que está fora. Nosso objetivo é encontrar a razão das áreas dessas duas regiões, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para calcular áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Podemos reescrevê-la completando o quadrado para facilitar:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio
e está deslocado ao longo do eixo
para
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a esfera
. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas esféricas:
onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 4
Para encontrar as áreas
e
, precisamos entender onde a esfera está dentro ou fora do cilindro. Isso acontece quando:
Usando as coordenadas esféricas, substituímos
e
:
Simplificando:
Passo 5
Para calcular as áreas, usamos a fórmula da área em coordenadas esféricas:
Precisamos determinar os limites de integração para
e
que correspondem a cada região (
e
).
Passo 6
Analisando a condição
, podemos encontrar o ângulo crítico
que separa as duas regiões:
Esse ângulo nos ajuda a definir os limites de integração para
em função de
.
Passo 7
Finalmente, calculamos as integrais para
e
, e então encontramos a razão
. Após realizar os cálculos, chegamos à seguinte razão:
Resposta
A razão das áreas é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera
, interior ao cone
.
Seja
a superfície de rotação obtida girando
em torno do eixo
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Calcule
, onde
e
é a porção da esfera
, limitada pelos planos
e
.
Seja
a porção do cilindro
, com
, limitada pelo plano
e o plano
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.