O cilindro divide a esfera em duas regiões e , onde está no interior do cilindro e fora. Ache a razão das áreas .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro dado pela equação que corta uma esfera definida por . Isso divide a esfera em duas partes: , que está dentro do cilindro, e , que está fora. Nosso objetivo é encontrar a razão das áreas dessas duas regiões, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para calcular áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos reescrevê-la completando o quadrado para facilitar:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio e está deslocado ao longo do eixo para .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a esfera . Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas esféricas:
onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 4

Para encontrar as áreas e , precisamos entender onde a esfera está dentro ou fora do cilindro. Isso acontece quando:
Usando as coordenadas esféricas, substituímos e :
Simplificando:

Passo 5

Para calcular as áreas, usamos a fórmula da área em coordenadas esféricas:
Precisamos determinar os limites de integração para e que correspondem a cada região ( e ).

Passo 6

Analisando a condição , podemos encontrar o ângulo crítico que separa as duas regiões:
Esse ângulo nos ajuda a definir os limites de integração para em função de .

Passo 7

Finalmente, calculamos as integrais para e , e então encontramos a razão . Após realizar os cálculos, chegamos à seguinte razão:

Resposta

A razão das áreas é .

Exercícios relacionados

Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera , interior ao cone .
Seja a superfície de rotação obtida girando em torno do eixo . Calcule a massa de , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo .
Calcule , onde
e é a porção da esfera , limitada pelos planos e .
Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e o plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .