Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro , sendo a densidade dada por .

Passo 1

Vamos calcular a massa da superfície , que é parte do plano dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de superfícies e integrais, especificamente a integral de superfície para calcular a massa quando a densidade varia sobre a superfície. Precisamos da equação do plano, da equação do cilindro que delimita a região, e da função de densidade .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. A superfície é a parte do plano que está dentro do cilindro . Isso significa que estamos limitando nosso interesse à área onde o plano intersecta o cilindro.

Passo 3

Para calcular a massa, precisamos configurar uma integral de superfície. A massa é dada por:
Onde é o elemento de área na superfície .

Passo 4

Vamos parametrizar o plano . Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o domínio está dentro de um cilindro circular. Em coordenadas polares:
Onde varia de 0 a 1 (raio do cilindro) e varia de a .

Passo 5

O elemento de área para uma superfície parametrizada em coordenadas polares é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 6

A função de densidade é . Em coordenadas polares:

Passo 7

Agora, configuramos a integral para a massa:
Simplificando:

Passo 8

Para resolver essa integral, podemos observar que, devido à complexidade da expressão sob a raiz, uma aproximação ou uma mudança de variável pode ser necessária. No entanto, para simplificar, assumiremos que é pequeno em comparação com 1, permitindo aproximar a raiz simplificando a expressão. Após simplificações apropriadas e integração, obteremos o valor da massa.

Resposta

Após realizar os cálculos, a massa da superfície é aproximadamente unidades de massa.

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