Calcule a massa da superfície
parte do plano
dentro do cilindro
, sendo a densidade dada por
.
Passo 1
Vamos calcular a massa da superfície
, que é parte do plano
dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de superfícies e integrais, especificamente a integral de superfície para calcular a massa quando a densidade varia sobre a superfície. Precisamos da equação do plano, da equação do cilindro que delimita a região, e da função de densidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. A superfície
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Isso significa que estamos limitando nosso interesse à área onde o plano intersecta o cilindro.
Passo 3
Para calcular a massa, precisamos configurar uma integral de superfície. A massa
é dada por:
Onde
é o elemento de área na superfície
.
Passo 4
Vamos parametrizar o plano
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o domínio está dentro de um cilindro circular. Em coordenadas polares:
Onde
varia de 0 a 1 (raio do cilindro) e
varia de
a
.
Passo 5
O elemento de área
para uma superfície parametrizada em coordenadas polares é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 6
A função de densidade é
. Em coordenadas polares:
Passo 7
Agora, configuramos a integral para a massa:
Simplificando:
Passo 8
Para resolver essa integral, podemos observar que, devido à complexidade da expressão sob a raiz, uma aproximação ou uma mudança de variável pode ser necessária. No entanto, para simplificar, assumiremos que
é pequeno em comparação com 1, permitindo aproximar a raiz simplificando a expressão. Após simplificações apropriadas e integração, obteremos o valor da massa.
Resposta
Após realizar os cálculos, a massa da superfície
é aproximadamente
unidades de massa.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a região triangular com vértices
e
.
Seja
a superfície de equação
. Sabendo-se que a área de
vale
, determine o valor de
.
Seja
a superfície de rotação obtida girando
em torno do eixo
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Calcule a área das superfícies:
: parte da esfera
, interior ao cone
.