Mostre que a integral do fluxo,
, onde
é parametrizada como
e a normal é dada por
pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de fluxo da função vetorial
sobre uma superfície
, parametrizada por
, pode ser expressa de uma maneira específica utilizando as derivadas parciais das coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície, parametrizações e produtos vetoriais para calcular normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de fluxo. Ela mede a quantidade de “fluxo” que o campo vetorial
passa através da superfície
. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é um vetor diferencial de área na superfície
.
Passo 3
A superfície
está parametrizada por
com
pertencendo a
, que é o domínio dos parâmetros. Para calcular a normal à superfície, usamos o produto vetorial das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Vamos calcular essa normal mais a frente, mas por enquanto, vamos reescrever a integral de fluxo em termos dos parâmetros
e
. Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos expandir o produto escalar. Se
, e a normal
, então:
Precisamos expressar
,
, e
em termos das derivadas parciais de
,
, e
.
Passo 6
Calculando o produto vetorial
:
O produto vetorial resulta em:
Passo 7
Então, substituindo na integral de fluxo:
Passo 8
percebemos que cada termo dentro da integral corresponde a uma das integrais duplas dadas no enunciado:
Onde
representa o determinante do jacobiano das funções
e
em relação a
e
.
Passo 9
Finalmente, observamos que essa expressão justifica a notação comum para a integral de fluxo:
Essa forma mostra claramente como cada componente do campo vetorial contribui para o fluxo através das projeções da superfície nas diferentes coordenadas.
Resposta
Conseguimos mostrar que a integral de fluxo da função vetorial
sobre a superfície
parametrizada por
pode ser expressa como a soma das integrais duplas envolvendo as derivadas parciais das coordenadas. Assim, justificamos a notação comum para a integral de fluxo:
Exercícios relacionados
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por
e
.
d) S é a parte da superfície
Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos
e
.
c) S é a parte da superfície cilíndrica
Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por
.
e) S é a superfície
Calcule
:
b) , onde
é o retângulo de vértices
aponta em direção oposta à da origem.
b)