Mostre que a integral do fluxo, , onde é parametrizada como e a normal é dada por pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de fluxo da função vetorial sobre uma superfície , parametrizada por , pode ser expressa de uma maneira específica utilizando as derivadas parciais das coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície, parametrizações e produtos vetoriais para calcular normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de fluxo. Ela mede a quantidade de “fluxo” que o campo vetorial passa através da superfície . Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é um vetor diferencial de área na superfície .

Passo 3

A superfície está parametrizada por com pertencendo a , que é o domínio dos parâmetros. Para calcular a normal à superfície, usamos o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Vamos calcular essa normal mais a frente, mas por enquanto, vamos reescrever a integral de fluxo em termos dos parâmetros e . Substituindo e , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos expandir o produto escalar. Se , e a normal , então:
Precisamos expressar , , e em termos das derivadas parciais de , , e .

Passo 6

Calculando o produto vetorial :
O produto vetorial resulta em:

Passo 7

Então, substituindo na integral de fluxo:

Passo 8

percebemos que cada termo dentro da integral corresponde a uma das integrais duplas dadas no enunciado:
Onde representa o determinante do jacobiano das funções e em relação a e .

Passo 9

Finalmente, observamos que essa expressão justifica a notação comum para a integral de fluxo:
Essa forma mostra claramente como cada componente do campo vetorial contribui para o fluxo através das projeções da superfície nas diferentes coordenadas.

Resposta

Conseguimos mostrar que a integral de fluxo da função vetorial sobre a superfície parametrizada por pode ser expressa como a soma das integrais duplas envolvendo as derivadas parciais das coordenadas. Assim, justificamos a notação comum para a integral de fluxo:

Exercícios relacionados

Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por e .
Calcule a área das superfícies S :
c) S é a parte da superfície cilíndrica situada entre os planos e .
Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por .
Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.