Mostre que a integral do fluxo, integral duplaS u cdot d S, onde u=ux(x, y, z) i+uy(x, y, z) j+uz(x, y, z) k, S é parametrizada como sigma(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v) in Omega e a normal é dada por n=partial sigmapartial u times partial sigmapartial v pode ser escrita como:
integral duplaOmega ux(sigma(u, v)) partial(y, z)partial(u, v) d u d v+integral duplaOmega uy(sigma(u, v)) partial(z, x)partial(u, v) d u d v+integral duplaOmega uz(sigma(u, v)) partial(x, y)partial(u, v) d u d v
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:
integral duplaS u cdot d S=integral duplaS ux d y d z+integral duplaS uy d z d x+integral duplaS uz d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de fluxo da função vetorial sobre uma superfície , parametrizada por , pode ser expressa de uma maneira específica utilizando as derivadas parciais das coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície, parametrizações e produtos vetoriais para calcular normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de fluxo. Ela mede a quantidade de “fluxo” que o campo vetorial integral duplaS u cdot d S passa através da superfície . Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é um vetor diferencial de área na superfície .

Passo 3

A superfície n = partial sigmapartial u times partial sigmapartial v está parametrizada por com pertencendo a , que é o domínio dos parâmetros. Para calcular a normal à superfície, usamos o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Vamos calcular essa normal mais a frente, mas por enquanto, vamos reescrever a integral de fluxo em termos dos parâmetros integral duplaOmega u(sigma(u, v)) cdot ( partial sigmapartial u times partial sigmapartial v ) du dv e . Substituindo e , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos expandir o produto escalar. Se u cdot n = ux A + uy B + uz C , e a normal , então:
Precisamos expressar , , e em termos das derivadas parciais de , , e .

Passo 6

Calculando o produto vetorial partial sigmapartial u = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) :
partial sigmapartial v = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v )
n = ( partial ypartial u partial zpartial v - partial zpartial u partial ypartial v, partial zpartial u partial xpartial v - partial xpartial u partial zpartial v, partial xpartial u partial ypartial v - partial ypartial u partial xpartial v )
O produto vetorial resulta em:

Passo 7

Então, substituindo na integral de fluxo:
integral duplaOmega [ ux ( partial ypartial u partial zpartial v - partial zpartial u partial ypartial v ) + uy ( partial zpartial u partial xpartial v - partial xpartial u partial zpartial v ) + uz ( partial xpartial u partial ypartial v - partial ypartial u partial xpartial v ) ] du dv

Passo 8

percebemos que cada termo dentro da integral corresponde a uma das integrais duplas dadas no enunciado:
integral duplaOmega ux partial(y, z)partial(u, v) du dv + integral duplaOmega uy partial(z, x)partial(u, v) du dv + integral duplaOmega uz partial(x, y)partial(u, v) du dv
Onde representa o determinante do jacobiano das funções e em relação a e .

Passo 9

Finalmente, observamos que essa expressão justifica a notação comum para a integral de fluxo:
integral duplaS u cdot d S = integral duplaS ux , dy , dz + integral duplaS uy , dz , dx + integral duplaS uz , dx , dy
Essa forma mostra claramente como cada componente do campo vetorial contribui para o fluxo através das projeções da superfície nas diferentes coordenadas.

Resposta

Conseguimos mostrar que a integral de fluxo da função vetorial integral duplaS u cdot d S = integral duplaS ux , dy , dz + integral duplaS uy , dz , dx + integral duplaS uz , dx , dy sobre a superfície parametrizada por pode ser expressa como a soma das integrais duplas envolvendo as derivadas parciais das coordenadas. Assim, justificamos a notação comum para a integral de fluxo:

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