Calcule a área das superfícies: A porção do parabolóide z = y^2 + x^2 que está no exterior do cone z^2 = 2 x^2 + 2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície que é a parte do parabolóide que está do lado de fora do cone definido por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o parabolóide e o cone se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar a interseção:
Rearranjando os termos:
Isso pode ser escrito como:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
  1. → apenas o ponto
A interseção ocorre onde .

Passo 4

Para calcular a área da parte do parabolóide fora do cone, vamos usar coordenadas polares devido à simetria do problema. Em coordenadas polares, temos:
A interseção ocorre quando , ou seja, .

Passo 5

A fórmula para calcular a área de uma superfície em coordenadas polares é:
Aqui, é a região onde .

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de :
Então,

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então .
Substituindo:
No limite quando , a integral diverge, o que indica que a área é infinita.

Resposta

A área da porção do parabolóide que está no exterior do cone é infinita.

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