Calcule a área das superfícies: A porção do parabolóide
que está no exterior do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície que é a parte do parabolóide
que está do lado de fora do cone definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o parabolóide e o cone se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar a interseção:
Rearranjando os termos:
Isso pode ser escrito como:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
-
→ apenas o ponto -
A interseção ocorre onde
.
Passo 4
Para calcular a área da parte do parabolóide fora do cone, vamos usar coordenadas polares devido à simetria do problema. Em coordenadas polares, temos:
A interseção ocorre quando
, ou seja,
.
Passo 5
A fórmula para calcular a área de uma superfície
em coordenadas polares é:
Aqui,
é a região onde
.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
:
Então,
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
→
.
Substituindo:
No limite quando
, a integral diverge, o que indica que a área é infinita.
Resposta
A área da porção do parabolóide
que está no exterior do cone
é infinita.
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Determine os valores de
de forma que a função
seja solução da equação dada:
;
Determine os valores de
de forma que a função
seja solução da equação dada:
;
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície
, em que:
, em que
é a parte da esfera
que está acima da região
no plano
, encerrada pela circunferência
.
Parametrize a porção da esfera
que está situada no 1o Octante e entre os planos
e
.