Determine os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação dada: x y'' + 2 y' = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos achar os valores de para que a função seja uma solução da equação diferencial dada: . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 4

Com as derivadas encontradas, vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Fatorando :

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para todo , o coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Resposta

Os valores de que fazem ser uma solução da equação dada são e .

Exercícios relacionados