Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S, em que: F(x, y, z) = (y, -x, 8), em que S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está acima da região D no plano x y, encerrada pela circunferência x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S. Essa superfície S é a parte da esfera que fica acima da região D no plano xy, que por sua vez é limitada pela circunferência . Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente sobre fluxo e integração sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. A esfera tem raio 3. A região D no plano xy é um círculo de raio 2. Então, a superfície S é a “tampa” da esfera que está acima desse círculo. Nosso objetivo é calcular quanto do campo F “passa” por essa tampa.

Passo 3

Para calcular o fluxo, usamos a fórmula:
Aqui, n é o vetor normal à superfície S, e é um elemento de área na superfície. O ponto é encontrar n e expressar tudo isso em coordenadas que facilitem a integração, como coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
Na nossa esfera, . Então, nossa superfície S está definida para e phi de 0 até certo valor que corresponde ao círculo .

Passo 5

Encontrar o limite para phi. No plano xy, , então na esfera, o ponto onde a superfície começa a “cortar” o plano é quando . Então, phi vai de 0 a .

Passo 6

Agora, expressamos o vetor normal n na esfera. Em coordenadas esféricas, para a superfície , o vetor normal unitário é simplesmente:

Passo 7

Vamos expressar F em coordenadas esféricas:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 9

Agora, a área diferencial em coordenadas esféricas é:

Passo 10

Então, o fluxo fica:

Passo 11

Vamos integrar phi de 0 a e theta de 0 a :
Integrando em relação a phi primeiro:
Então:
Sabemos que , então:
Então:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície S é .

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