Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície
, em que:
, em que
é a parte da esfera
que está acima da região
no plano
, encerrada pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície
é a parte da esfera
que fica acima da região
no plano
, que por sua vez é limitada pela circunferência
. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente sobre fluxo e integração sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos. A esfera
tem raio 3. A região
no plano
é um círculo de raio 2. Então, a superfície
é a “tampa” da esfera que está acima desse círculo. Nosso objetivo é calcular quanto do campo
“passa” por essa tampa.
Passo 3
Para calcular o fluxo, usamos a fórmula:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é um elemento de área na superfície. O ponto é encontrar
e expressar tudo isso em coordenadas que facilitem a integração, como coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
Na nossa esfera,
. Então, nossa superfície
está definida para
e
de
até certo valor que corresponde ao círculo
.
Passo 5
Encontrar o limite para
. No plano
,
, então na esfera, o ponto onde a superfície começa a “cortar” o plano é quando
. Então,
vai de
a
.
Passo 6
Agora, expressamos o vetor normal
na esfera. Em coordenadas esféricas, para a superfície
, o vetor normal unitário é simplesmente:
Passo 7
Vamos expressar
em coordenadas esféricas:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a área diferencial
em coordenadas esféricas é:
Passo 10
Então, o fluxo fica:
Passo 11
Vamos integrar
de
a
e
de
a
:
Integrando em relação a
primeiro:
Então:
Sabemos que
, então:
Então:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área das superfícies: A porção do parabolóide
que está no exterior do cone
.
Determine os valores de
de forma que a função
seja solução da equação dada:
;
Parametrize a porção da esfera
que está situada no 1o Octante e entre os planos
e
.
Determine os valores de
e
de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas.