Parametrize a porção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está situada no 1o Octante e entre os planos y = 0 e y = x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar a porção da esfera que está no primeiro octante e entre os planos e . Isso significa que vamos trabalhar com geometria espacial, especificamente com esferas, e precisamos entender como descrever essa parte específica da esfera usando parâmetros. Para resolver isso, vamos usar as coordenadas esféricas, que são super úteis para parametrizar superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano medido a partir do eixo .
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
A parametrização em coordenadas esféricas para uma esfera de raio é dada por:
No nosso caso, a esfera tem raio , pois .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os intervalos dos parâmetros e que correspondem à região especificada: primeiro octante e entre os planos e .
No primeiro octante, todas as coordenadas , e são positivas. Isso implica que:
  • varia de a , já que corresponde ao eixo positivo e ao eixo positivo.
  • varia de a , pois estamos acima do plano .

Passo 4

Além disso, o enunciado especifica que a região está entre os planos e . No sistema de coordenadas esféricas, essa condição impõe restrições adicionais ao ângulo .
Vamos entender isso:
  • O plano corresponde a .
  • O plano pode ser reescrito em coordenadas esféricas. Como , temos:
Simplificando, , o que implica que .
Então, varia de a dentro do primeiro octante e entre os planos dados.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos escrever a parametrização final da porção da esfera desejada. Substituindo e os intervalos de e , temos:
onde:

Resposta

A parametrização da porção da esfera no primeiro octante e entre os planos e é dada por:
com:

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