Determine os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação dada: x^2 y'' - 7 x y' + 15 y = 0;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de de forma que a função seja solução da equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e usaremos derivadas para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de . A derivada de em relação a é dada por:
E a segunda derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo da equação:
Fatorando :

Passo 5

Como não é zero para , podemos dividir ambos os lados por :
Simplificando a equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

Exercícios relacionados

Determine os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação dada: x y'' + 2 y' = 0;
Verifique se a função indicada é uma solução da EDO dada: 2 y' + y = 0, y = e^(-x / 2);
Calcule a área das superfícies: A porção do parabolóide z = y^2 + x^2 que está no exterior do cone z^2 = 2 x^2 + 2 y^2.
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S, em que: F(x, y, z) = (y, -x, 8), em que S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está acima da região D no plano x y, encerrada pela circunferência x^2 + y^2 = 4.