Determine os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação dada: x^2 y'' - 7 x y' + 15 y = 0;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de de forma que a função seja solução da equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e usaremos derivadas para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de . A derivada de em relação a é dada por:
E a segunda derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo da equação:
Fatorando :

Passo 5

Como não é zero para , podemos dividir ambos os lados por :
Simplificando a equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Portanto, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

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