Determine os valores de
de forma que a função
seja solução da equação dada:
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de
de forma que a função
seja solução da equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e usaremos derivadas para encontrar os valores de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
. A derivada de
em relação a
é dada por:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo da equação:
Fatorando
:
Passo 5
Como
não é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Simplificando a equação:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Fatorando:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
e
.