Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície
, limitada por
.
e) S é a superfície
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da superfície
definida por
, limitada pela altura
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a região no plano
onde essa superfície está limitada. Igualando
:
Reorganizando os termos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para
e
:
Isso simplifica para:
Então, a região de integração é um círculo de raio 1 centrado no ponto
.
Passo 4
A fórmula para a área da superfície
definida por
sobre uma região
no plano
é:
Aqui,
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 6
Como a região
é um círculo de raio 1 centrado em
, podemos fazer uma mudança de coordenadas para facilitar os cálculos. Seja
e
. A equação da região fica:
E a função
vira:
Passo 7
Agora, vamos usar coordenadas polares onde
e
, com
indo de 0 a 1 e
de 0 a
. A área fica:
Integrando em
:
Passo 8
Para resolver a integral, fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Calculando:
Resposta
A área da superfície é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a integral do fluxo,
, onde
é parametrizada como
e a normal é dada por
pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por
e
.
d) S é a parte da superfície
Calcule
:
b) , onde
é o retângulo de vértices
aponta em direção oposta à da origem.
b)
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(b) e
é a parte do plano
dentro do cilindro
.
(b)