Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície definida por , limitada pela altura . Para isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a região no plano onde essa superfície está limitada. Igualando :
Reorganizando os termos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para e :
Isso simplifica para:
Então, a região de integração é um círculo de raio 1 centrado no ponto .

Passo 4

A fórmula para a área da superfície definida por sobre uma região no plano é:
Aqui, .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Como a região é um círculo de raio 1 centrado em , podemos fazer uma mudança de coordenadas para facilitar os cálculos. Seja e . A equação da região fica:
E a função vira:

Passo 7

Agora, vamos usar coordenadas polares onde e , com indo de 0 a 1 e de 0 a . A área fica:
Integrando em :

Passo 8

Para resolver a integral, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . A integral fica:
Calculando:

Resposta

A área da superfície é .

Exercícios relacionados

Mostre que a integral do fluxo, , onde é parametrizada como e a normal é dada por pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:
Calcule a área das superfícies S :
d) S é a parte da superfície , limitada por e .
Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(b) e é a parte do plano dentro do cilindro .