Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície z = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2, limitada por z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície definida por , limitada pela altura . Para isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a região no plano onde essa superfície está limitada. Igualando :
Reorganizando os termos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para e :
Isso simplifica para:
Então, a região de integração é um círculo de raio 1 centrado no ponto .

Passo 4

A fórmula para a área da superfície definida por sobre uma região no plano é:
Aqui, .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Como a região é um círculo de raio 1 centrado em , podemos fazer uma mudança de coordenadas para facilitar os cálculos. Seja e . A equação da região fica:
E a função vira:

Passo 7

Agora, vamos usar coordenadas polares onde e , com indo de 0 a 1 e de 0 a . A área fica:
Integrando em :

Passo 8

Para resolver a integral, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . A integral fica:
Calculando:

Resposta

A área da superfície é .

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