Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar uma superfície que é parte de um cilindro definido pela equação . Essa parte do cilindro está entre dois planos: o plano e o plano . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar o cilindro . Sabemos que a equação de um cilindro circular pode ser parametrizada usando coordenadas polares para as direções e . Ou seja, podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia de a para cobrir todo o círculo da base do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos incluir a direção na nossa parametrização. No cilindro, pode assumir qualquer valor, mas aqui temos restrições: está entre e o plano . Vamos resolver essa segunda equação para :
Como já parametrizamos como , podemos substituir:
Então, varia de até .

Passo 4

Com tudo isso, nossa parametrização completa da superfície fica assim:
Onde os parâmetros estão dentro dos seguintes domínios:

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
Com os parâmetros no domínio:

Exercícios relacionados

Determine a velocidade e a aceleração da curva em
Encontre os pontos de inflexão na curva .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano no interior do cilindro .
Calcule a área das superfícies:
: porção do cilindro , entre os planos e .