Calcule
:
b)
, onde
é o retângulo de vértices
aponta em direção oposta à da origem.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
é um retângulo definido pelos vértices
,
,
e
. Além disso, o vetor normal
está apontando na direção oposta à origem. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície.
Passo 2
Vamos começar parametrizando a superfície
. Observando os vértices, percebemos que todos eles satisfazem a equação
, o que significa que
está no plano
. Podemos usar
e
como parâmetros. Assim, a parametrização de
fica:
onde
e
variam de 0 a 1.
Passo 3
Para encontrar o vetor diferencial de área
, precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais de
em relação aos parâmetros
e
:
O vetor normal
é, portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar do campo vetorial
com
:
Como
, substituímos:
Passo 5
Por fim, integramos a expressão obtida sobre os limites de
e
de 0 a 1:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
: