Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A superfície é um retângulo definido pelos vértices , , e . Além disso, o vetor normal está apontando na direção oposta à origem. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície . Observando os vértices, percebemos que todos eles satisfazem a equação , o que significa que está no plano . Podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização de fica:
onde e variam de 0 a 1.

Passo 3

Para encontrar o vetor diferencial de área , precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais de em relação aos parâmetros e :
O vetor normal é, portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar do campo vetorial com :
Como , substituímos:

Passo 5

Por fim, integramos a expressão obtida sobre os limites de e de 0 a 1:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :

Resposta

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Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por .
Mostre que a integral do fluxo, , onde é parametrizada como e a normal é dada por pode ser escrita como:
Isto justifica a notação comum para a integral do fluxo:
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(b) e é a parte do plano dentro do cilindro .
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(a) e é a esfera de contro na origem e raio .