Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A superfície é um retângulo definido pelos vértices , , e . Além disso, o vetor normal está apontando na direção oposta à origem. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície.
Passo 2
Vamos começar parametrizando a superfície . Observando os vértices, percebemos que todos eles satisfazem a equação , o que significa que está no plano . Podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização de fica:
onde e variam de 0 a 1.
Passo 3
Para encontrar o vetor diferencial de área , precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais de em relação aos parâmetros e :
O vetor normal é, portanto, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar do campo vetorial com :
Como , substituímos:
Passo 5
Por fim, integramos a expressão obtida sobre os limites de e de 0 a 1: