Calcule integral duplaS v cdot d S :
b) v(x, y, z)=(x+y) i-(2 y+1) j+z k, onde S é o retângulo de vértices (1,0,1),(1,0,0),(0,1,0) e(0,1,1), e n aponta em direção oposta à da origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A superfície é um retângulo definido pelos vértices , , e . Além disso, o vetor normal está apontando na direção oposta à origem. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície r(x, z) = x,i + (1 - x),j + z,k . Observando os vértices, percebemos que todos eles satisfazem a equação , o que significa que está no plano . Podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização de fica:
onde e variam de 0 a 1.

Passo 3

Para encontrar o vetor diferencial de área partial rpartial x = i - j, partial rpartial z = k , precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais de dS = partial rpartial x times partial rpartial z , dx , dz = (i - j) times k , dx , dz = (-i - j) , dx , dz em relação aos parâmetros e :
O vetor normal é, portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar do campo vetorial v cdot dS = [(x + y)(-1) + (-2y - 1)(-1) + z cdot 0] , dx , dz com = [(x + (1 - x))(-1) + (-2(1 - x) - 1)(-1)] , dx , dz :
= [1(-1) + (-2 + 2x - 1)(-1)] , dx , dz
Como = [-1 + (3 - 2x)] , dx , dz , substituímos:
= (2 - 2x) , dx , dz

Passo 5

Por fim, integramos a expressão obtida sobre os limites de integral duplaS v cdot dS = integral0^1 integral0^1 (2 - 2x) , dx , dz e integral0^1 (2 - 2x) , dx = [2x - x^2]0^1 = 2(1) - (1)^2 - [0 - 0] = 2 - 1 = 1 de 0 a 1:
integral0^1 1 , dz = z g|0^1 = 1 - 0 = 1
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :

Resposta

integral duplaS v cdot dS = 1

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