Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(b) e é a parte do plano dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de uma superfície quando a densidade superficial . A superfície é a parte do plano que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, entender como parametrizar a superfície e calcular a massa usando a densidade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de uma superfície. A massa é dada pela integral dupla da densidade superficial sobre a superfície :
Aqui, representa um elemento de área na superfície .

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície . Como está no plano , podemos usar e como parâmetros. Assim, qualquer ponto na superfície pode ser descrito por onde .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para . Em termos de derivadas parciais, é dado por:
Como , temos e . Substituindo:

Passo 5

Substituindo e na expressão da massa:
Como está limitado pelo cilindro , vamos trocar para coordenadas polares onde e . O elemento de área vira .

Passo 6

Reescrevendo a integral em coordenadas polares:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A massa da superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.
Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por .
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(a) e é a esfera de contro na origem e raio .
Calcule :
a) , onde é o hemisfério , com apontando para o exterior da esfera.