Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(b)
e
é a parte do plano
dentro do cilindro
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de uma superfície quando a densidade superficial
. A superfície
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, entender como parametrizar a superfície e calcular a massa usando a densidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a massa de uma superfície. A massa
é dada pela integral dupla da densidade superficial sobre a superfície
:
Aqui,
representa um elemento de área na superfície
.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
, podemos usar
e
como parâmetros. Assim, qualquer ponto na superfície pode ser descrito por
onde
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
. Em termos de derivadas parciais,
é dado por:
Como
, temos
e
. Substituindo:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da massa:
Como
está limitado pelo cilindro
, vamos trocar para coordenadas polares onde
e
. O elemento de área
vira
.
Passo 6
Reescrevendo a integral em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A massa da superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule
:
b) , onde
é o retângulo de vértices
aponta em direção oposta à da origem.
b)
Calcule a área das superfícies S :
e) S é a superfície , limitada por
.
e) S é a superfície
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(a) e
é a esfera de contro na origem e raio
.
(a)
Calcule
:
a) , onde
é o hemisfério
, com
apontando para o exterior da esfera.
a)