Calcule a área do toro descrito pela equação vetorial
com e . (Dica: Use o teorema de Pappus (Apostol).)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de um toro (que é tipo uma rosquinha 3D) descrito por uma equação vetorial. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente geometria de superfícies e uso do teorema de Pappus. Para resolver, vamos precisar entender a parametrização do toro e aplicar o teorema de Pappus para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um toro. Um toro é uma superfície gerada pela rotação de um círculo em torno de um eixo no mesmo plano do círculo, mas que não o corta. Na nossa equação vetorial, temos duas variáveis, e , que representam os ângulos de parametrização para a circularidade do toro.

Passo 3

A equação vetorial dada é:
Aqui, é a distância do centro do tubo do toro ao eixo de rotação, é o raio do tubo, e parece ser relacionado a , mas para simplificação vamos considerar que está envolvido na parametrização.

Passo 4

O teorema de Pappus nos diz que a área superfícia gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo externo é igual ao comprimento da curva multiplicado pela distância percorrida pelo centro de massa dessa curva.

Passo 5

No caso do toro, a curva que está girando é um círculo de raio . O comprimento dessa curva é a circunferência do círculo, que é .

Passo 6

A distância percorrida pelo centro de massa dessa curva durante a rotação é a circunferência do caminho que o centro do círculo percorre, que é .

Passo 7

Aplicando o teorema de Pappus, a área do toro é:
Áâ
Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área do toro é .

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Use a regra da cadeia para determinar .
.
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. .