Calcule a área do toro descrito pela equação vetorial
com
e
. (Dica: Use o teorema de Pappus (Apostol).)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área de um toro (que é tipo uma rosquinha 3D) descrito por uma equação vetorial. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente geometria de superfícies e uso do teorema de Pappus. Para resolver, vamos precisar entender a parametrização do toro e aplicar o teorema de Pappus para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um toro. Um toro é uma superfície gerada pela rotação de um círculo em torno de um eixo no mesmo plano do círculo, mas que não o corta. Na nossa equação vetorial, temos duas variáveis,
e
, que representam os ângulos de parametrização para a circularidade do toro.
Passo 3
A equação vetorial dada é:
Aqui,
é a distância do centro do tubo do toro ao eixo de rotação,
é o raio do tubo, e
parece ser relacionado a
, mas para simplificação vamos considerar que está envolvido na parametrização.
Passo 4
O teorema de Pappus nos diz que a área superfícia gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo externo é igual ao comprimento da curva multiplicado pela distância percorrida pelo centro de massa dessa curva.
Passo 5
No caso do toro, a curva que está girando é um círculo de raio
. O comprimento dessa curva é a circunferência do círculo, que é
.
Passo 6
A distância percorrida pelo centro de massa dessa curva durante a rotação é a circunferência do caminho que o centro do círculo percorre, que é
.
Passo 7
Aplicando o teorema de Pappus, a área do toro é:
Substituindo os valores:
Resposta
A área do toro é
.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para determinar
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Use a regra da cadeia para determinar
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
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