Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado por:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Isso nos dá uma medida de quão “espalhado” o campo está em cada ponto.

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • :
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
De forma semelhante, encontramos:

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
Somando os numeradores:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “girando” em torno de cada ponto.

Passo 7

Calculando cada componente do rotacional:
Então, a primeira componente é:
De forma similar, as outras componentes também serão zero devido à simetria dos termos.

Passo 8

Portanto, todos os componentes do rotacional são zero, ou seja:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é o vetor nulo, .

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