Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial dado por:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Isso nos dá uma medida de quão “espalhado” o campo está em cada ponto.
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente.
Passo 4
Calculando as derivadas:
-
:
Usando a regra do quociente, temos:
Simplificando:
De forma semelhante, encontramos:
Passo 5
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
Somando os numeradores:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Isso nos dá uma medida de quanto o campo está “girando” em torno de cada ponto.
Passo 7
Calculando cada componente do rotacional:
Então, a primeira componente é:
De forma similar, as outras componentes também serão zero devido à simetria dos termos.
Passo 8
Portanto, todos os componentes do rotacional são zero, ou seja:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é o vetor nulo,
.
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.
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com
e
. (Dica: Use o teorema de Pappus (Apostol).)
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