Use a regra da cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v.
z=8 x^2 y-2 x+3 y ; x=u v, y=u-v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais de em relação a e . Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Função principal:
  • Funções intermediárias: e
A Regra da Cadeia vai nos ajudar a relacionar as derivadas de com relação a e através das funções e .

Passo 2

Vamos começar calculando partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u . Segundo a Regra da Cadeia, temos:
Primeiro, precisamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em rela��ão a )

Passo 3

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
partial zpartial u = (16xy - 2) cdot v + (8x^2 + 3) cdot 1
Agora, vamos substituir = [16(u cdot v)(u - v) - 2] cdot v + [8(u cdot v)^2 + 3] e = [16u v (u - v) - 2] v + [8u^2 v^2 + 3] nessa expressão:
= 16u v^2(u - v) - 2v + 8u^2v^2 + 3
Vamos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v usando a mesma ideia:
Calculando as derivadas necessárias:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )

Passo 5

Substituindo na fórmula:
partial zpartial v = (16xy - 2) cdot u + (8x^2 + 3) cdot (-1)
Substituindo = [16(u cdot v)(u - v) - 2] cdot u + [8(u cdot v)^2 + 3] cdot (-1) e = 16u^2v(u - v) - 2u - 8u^2v^2 - 3 :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 16u v^2(u - v) - 2v + 8u^2v^2 + 3
partial zpartial v = 16u^2v(u - v) - 2u - 8u^2v^2 - 3

Exercícios relacionados