Use a regra da cadeia para determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais de em relação a e . Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Função principal:
  • Funções intermediárias: e
A Regra da Cadeia vai nos ajudar a relacionar as derivadas de com relação a e através das funções e .

Passo 2

Vamos começar calculando . Segundo a Regra da Cadeia, temos:
Primeiro, precisamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em rela��ão a )

Passo 3

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Agora, vamos substituir e nessa expressão:
Vamos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos calcular usando a mesma ideia:
Calculando as derivadas necessárias:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Calcule a área do toro descrito pela equação vetorial
com e . (Dica: Use o teorema de Pappus (Apostol).)
Use a regra da cadeia para determinar .
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. .
Demostre que a função não tem um local máximo e nem um local mínimo.