Use a regra da cadeia para determinar
.
.
Passo 1
Vamos resolver um problema usando a Regra da Cadeia. Nos foi dado que
, onde
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, precisamos entender como
depende de
e
através de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
e
. Como
, derivando em relação a
temos:
E derivando em relação a
:
Essas derivadas nos mostram como
muda quando
ou
mudam.
Passo 3
Agora, precisamos das derivadas de
em relação a
e de
em relação a
. Sabemos que:
Essas derivadas indicam como
e
variam com
e
, respectivamente.
Passo 4
Usando a Regra da Cadeia, para encontrar
, consideramos que
depende de
que, por sua vez, depende de
. Então:
Substituindo
:
Passo 5
De maneira similar, para encontrar
, observamos que
depende de
que depende de
. Assim:
Substituindo
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
h)
h)
Calcule a área do toro descrito pela equação vetorial
com
e
. (Dica: Use o teorema de Pappus (Apostol).)
Use a regra da cadeia para determinar
.