Use a regra da cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v.
z=xy, x=cos u, y=sen v.

Passo 1

Vamos resolver um problema usando a Regra da Cadeia. Nos foi dado que , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, precisamos entender como depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x = 1y e partial zpartial y = -xy^2 . Como , derivando em relação a temos:
E derivando em relação a :
Essas derivadas nos mostram como muda quando ou mudam.

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas de x = cos u Rightarrow partial xpartial u = -sin u em relação a y = sin v Rightarrow partial ypartial v = cos v e de em relação a . Sabemos que:
Essas derivadas indicam como e variam com e , respectivamente.

Passo 4

Usando a Regra da Cadeia, para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u = 1y cdot (-sin u) = -sin uy , consideramos que partial zpartial u = -sin usin v depende de que, por sua vez, depende de . Então:
Substituindo :

Passo 5

De maneira similar, para encontrar partial zpartial v = partial zpartial y cdot partial ypartial v = -xy^2 cdot cos v = -x cos vy^2 , observamos que partial zpartial v = -cos u cdot cos v(sin v)^2 = -cos u cos vsin^2 v depende de que depende de . Assim:
Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = -sin usin v
e
partial zpartial v = -cos u cos vsin^2 v

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