Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é um tópico de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar propriedades de integrais para simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 1. Para facilitar, vamos desenhar essa região no plano xy.
Quando
varia de 0 a 1,
varia de 0 a 1 também. Então, a região de integração está abaixo da curva
e acima de
, com
indo de
até 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que faremos
variar primeiro e depois
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Observando a região, para um dado
,
varia de 0 até
(porque
implica
). E
varia de 0 a 1. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
. Note que é uma função que depende apenas de
, então podemos tratá-la como uma constante em relação a
.
Passo 5
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos usar uma substituição para simplificar.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Quando
,
, e quando
,
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 9
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla vale
.