Calcule a integral dupla
integral0^1 integralraizy^1 sen(pi x^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é um tópico de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar propriedades de integrais para simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender a região de integração. Temos y variando de 0 a 1, e para cada y, x varia de raizy a 1. Para facilitar, vamos desenhar essa região no plano xy.
Quando y varia de 0 a 1, raizy varia de 0 a 1 também. Então, a região de integração está abaixo da curva x = raizy e acima de y = 0, com x indo de raizy até 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que faremos x variar primeiro e depois y. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Observando a região, para um dado x, y varia de 0 até x^2 (porque x = raizy implica y = x^2). E x varia de 0 a 1. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a y. Note que é uma função que depende apenas de sen(pi x^3), então podemos tratá-la como uma constante em relação a x.

Passo 5

Substituindo de volta na integral externa, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos usar uma substituição para simplificar.

Passo 6

Vamos fazer a substituição u = pi x^3. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 3pi x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3pi
Quando x = 0, u = 0, e quando x = 1, u = pi.

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de 0 a sen(u):
integral sen(u) , du = -cos(u) + C

Passo 9

Então, substituindo de volta:
13pi cdot 2 = 23pi

Resposta

A integral dupla vale dfrac23pi.

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