Calcule a seguinte integral de superfície
onde
é a parte do plano
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfície, especificamente sobre um plano. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o plano, encontrar uma expressão para
e determinar os limites de integração no primeiro octante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função
sobre uma superfície
. Aqui, nossa função é
. Para calcular a integral, precisamos parametrizar a superfície e expressar
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar o plano
. Podemos resolver essa equação para
:
Então, podemos considerar
e
como parâmetros. Agora, nossa superfície
está definida por:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
. A fórmula para
em termos de
e
é:
Calculando as derivadas parciais de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os limites de integração no primeiro octante. No primeiro octante,
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Como
, temos:
Então, os limites para
vão de 0 a 1, e para
vão de 0 a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral:
Podemos fatorar
para fora das integrais:
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Expandindo a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Avaliar nos limites:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.