(2,0) Calcule a seguinte integral de superfície integral duplasigma x y d S onde sigma é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular , onde é a parte do plano que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfície, especificamente sobre um plano. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o plano, encontrar uma expressão para e determinar os limites de integração no primeiro octante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função sobre uma superfície . Aqui, nossa função é . Para calcular a integral, precisamos parametrizar a superfície e expressar em termos de e .

Passo 3

Vamos parametrizar o plano z = 1 - x - y . Podemos resolver essa equação para r(x, y) = (x, y, 1 - x - y) :
Então, podemos considerar e como parâmetros. Agora, nossa superfície está definida por:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para d S = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , d x , d y . A fórmula para partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1 em termos de d S = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , d x , d y = raiz1 + 1 + 1 , d x , d y = raiz3 , d x , d y e é:
Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos estabelecer os limites de integração no primeiro octante. No primeiro octante, 1 - x - y >= 0 implies x + y <= 1 , e são todos maiores ou iguais a zero. Como , temos:
Então, os limites para vão de 0 a 1, e para vão de 0 a .

Passo 6

Agora, montamos a integral:
integral duplasigma x y , d S = integral0^1 integral0^1 - x x y cdot raiz3 , d y , d x
Podemos fatorar raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x y , d y , d x para fora das integrais:

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^1 - x x y , d y = x [ y^22 ]0^1 - x = x cdot (1 - x)^22 :
raiz3 integral0^1 x (1 - x)^22 , d x = raiz32 integral0^1 x (1 - 2x + x^2) , d x
Então, a integral fica:

Passo 8

Expandindo a expressão dentro da integral:
raiz32 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , d x
Integrando termo a termo:
raiz32 [ x^22 - 2x^33 + x^44 ]0^1
Avaliar nos limites:
raiz32 ( 12 - 23 + 14 ) = raiz32 ( 612 - 812 + 312 ) = raiz32 ( 112 ) = raiz324

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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